Страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите неравенство, которому удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих шару с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$.

Дано:

Центр шара: $A_0(x_0; y_0; z_0)$

Радиус шара: $R$

Найти:

Неравенство, которому удовлетворяют координаты произвольной точки $(x; y; z)$, не принадлежащей шару.

Решение:

Шар с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ определяется как множество всех точек $(x; y; z)$ в пространстве, расстояние $d$ от которых до центра $A_0$ меньше или равно радиусу $R$. Формула для расстояния между двумя точками $(x; y; z)$ и $(x_0; y_0; z_0)$ в трехмерном пространстве выглядит так:

$d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}$

Соответственно, условие принадлежности точки шару (замкнутому шару) выражается неравенством:

$d \le R$

Подставляя выражение для $d$, получаем:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} \le R$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$

Точки, которые не принадлежат шару, это те точки, которые находятся строго вне шара. Для таких точек расстояние от центра $d$ должно быть строго больше радиуса $R$. Это противоположное условие к принадлежности шару.

$d > R$

Снова подставляем выражение для $d$:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} > R$

Возводя обе части неравенства в квадрат, получаем искомое неравенство для точек, не принадлежащих шару:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 > R^2$

Ответ:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 > R^2$

Вопросы

1. Какой формулой выражается расстояние между двумя точками в пространстве?

2. Какому равенству удовлетворяют координаты точек сферы?

3. Какое равенство называется уравнением сферы?

4. Какому неравенству удовлетворяют координаты точек шара?

1. Какой формулой выражается расстояние между двумя точками в пространстве?

Расстояние $d$ между двумя точками в пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ выражается формулой, основанной на обобщении теоремы Пифагора для трехмерного пространства. Она равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

2. Какому равенству удовлетворяют координаты точек сферы?

Координаты любой точки $(x, y, z)$ на сфере удовлетворяют равенству, которое определяет ее как множество всех точек, равноудаленных от центра сферы. Если центр сферы имеет координаты $(a, b, c)$ и ее радиус равен $R$, то расстояние от любой точки сферы до центра равно $R$. Это равенство является уравнением сферы.

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

Ответ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра сферы, $R$ - ее радиус.

3. Какое равенство называется уравнением сферы?

Уравнением сферы называется равенство, которое определяет геометрическое место точек в пространстве, находящихся на фиксированном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). Для сферы с центром в точке $(a, b, c)$ и радиусом $R$, уравнение имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

Ответ: Равенство $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра, а $R$ - радиус сферы.

4. Какому неравенству удовлетворяют координаты точек шара?

Шар - это тело, ограниченное сферой, включающее все точки сферы и все точки внутри нее. Соответственно, расстояние от любой точки шара до его центра должно быть меньше или равно радиусу. Если центр шара находится в точке $(a, b, c)$, а его радиус равен $R$, то координаты $(x, y, z)$ любой точки шара удовлетворяют следующему неравенству:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \le R^2$

Ответ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \le R^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра шара, $R$ - его радиус.