Страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно, что при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Выведите из этого, что разность $ \overline{a}_2 - \overline{a}_1 $ векторов и $ \overline{a}_1(x_1; y_1; z_1) $ и $ \overline{a}_2(x_2; y_2; z_2) $ имеет координаты $ (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) $.

Дано:

Вектор $\vec{a}$ с координатами $(x; y; z)$.

Скаляр $k$.

Вектор $\vec{a_1}$ с координатами $(x_1; y_1; z_1)$.

Вектор $\vec{a_2}$ с координатами $(x_2; y_2; z_2)$.

Найти:

1. Доказать, что при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

2. Вывести, что разность $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ векторов $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ имеет координаты $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Решение:

Доказательство умножения вектора на число

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y; z)$ в прямоугольной декартовой системе координат. Это означает, что вектор $\vec{a}$ может быть представлен в виде линейной комбинации ортонормированных базисных векторов $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ (направленных вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно) следующим образом: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Рассмотрим произведение вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$. Используя свойство дистрибутивности умножения скаляра на сумму векторов и свойство ассоциативности умножения скаляра на вектор, получим:

$k\vec{a} = k(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k})$

$k\vec{a} = k(x\vec{i}) + k(y\vec{j}) + k(z\vec{k})$

$k\vec{a} = (kx)\vec{i} + (ky)\vec{j} + (kz)\vec{k}$

Из последнего выражения видно, что вектор $k\vec{a}$ имеет координаты $(kx; ky; kz)$.

Ответ: Доказано, что при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Вывод координат разности векторов

Пусть даны два вектора: $\vec{a_1}$ с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}$ с координатами $(x_2; y_2; z_2)$. Это означает, что: $\vec{a_1} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$ $\vec{a_2} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$

Разность векторов $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ может быть представлена как сумма вектора $\vec{a_2}$ и вектора $(-\vec{a_1})$.

Используя доказанное выше свойство умножения вектора на скаляр, мы можем найти координаты вектора $-\vec{a_1}$. Если $k = -1$, то: $-\vec{a_1} = (-1)\vec{a_1} = (-1 \cdot x_1; -1 \cdot y_1; -1 \cdot z_1) = (-x_1; -y_1; -z_1)$.

Теперь найдем сумму векторов $\vec{a_2}$ и $(-\vec{a_1})$. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{a_2} + (-\vec{a_1})$

Координаты разности будут: $(x_2 + (-x_1); y_2 + (-y_1); z_2 + (-z_1))$

Что упрощается до: $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Таким образом, разность векторов $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ имеет координаты $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Ответ: Выведено, что разность векторов $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ имеет координаты $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.