Номер 21.5, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.5. Коллинеарны ли векторы $\overline{AD_1}$ и $\overline{BC_1}$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 21.4)?

₁B₁C₁D₁E₁F₁Рис. 21.4

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Найти:

Являются ли векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ коллинеарными?

Решение:

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор может быть выражен через другой с помощью скалярного множителя, то есть $\vec{u} = k\vec{v}$, где $k$ — некоторое скалярное число.

Рассмотрим векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ в данной правильной шестиугольной призме.

Представим каждый вектор в виде суммы двух векторов: вектора, лежащего в плоскости основания, и вектора, соответствующего высоте призмы. Обозначим вектор, соответствующий высоте призмы, как $\vec{h} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \dots$.

Тогда:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Поскольку $\vec{DD_1} = \vec{CC_1} = \vec{h}$, можем записать:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{h}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{h}$

Для того чтобы векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ были коллинеарными, должно существовать такое скалярное число $k$, что $\vec{AD_1} = k \vec{BC_1}$.

Подставим разложения векторов:

$ \vec{AD} + \vec{h} = k (\vec{BC} + \vec{h}) $

$ \vec{AD} + \vec{h} = k \vec{BC} + k \vec{h} $

Перенесем слагаемые таким образом, чтобы векторы, лежащие в плоскости основания, были с одной стороны, а векторы высоты — с другой:

$ \vec{AD} - k \vec{BC} = k \vec{h} - \vec{h} $

$ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ лежат в плоскости основания правильной шестиугольной призмы. Вектор $\vec{h}$ перпендикулярен этой плоскости (поскольку это вектор высоты призмы).

Левая часть уравнения, $\vec{AD} - k \vec{BC}$, является линейной комбинацией векторов, лежащих в плоскости основания, и, следовательно, сама лежит в плоскости основания.

Правая часть уравнения, $(k-1) \vec{h}$, является вектором, перпендикулярным плоскости основания (или нулевым вектором, если $k=1$).

Для того чтобы вектор, лежащий в плоскости, был равен вектору, перпендикулярному этой плоскости, оба вектора должны быть нулевыми. Поскольку призма имеет высоту, $\vec{h} \neq \vec{0}$.

Следовательно, для выполнения равенства $ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $ необходимо, чтобы $(k-1) \vec{h} = \vec{0}$. Так как $\vec{h} \neq \vec{0}$, то должно быть $k-1 = 0$, что означает $k=1$.

Если $k=1$, то уравнение $ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $ преобразуется в:

$ \vec{AD} - 1 \cdot \vec{BC} = (1-1) \vec{h} $

$ \vec{AD} - \vec{BC} = \vec{0} $

$ \vec{AD} = \vec{BC} $

Теперь рассмотрим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ в основании (правильном шестиугольнике $ABCDEF$). Вектор $\vec{BC}$ соединяет две соседние вершины шестиугольника и является его стороной. Вектор $\vec{AD}$ соединяет две противоположные вершины шестиугольника и является его главной диагональю, проходящей через центр. В правильном шестиугольнике длина главной диагонали $AD$ в два раза больше длины стороны $BC$ ($AD = 2 \cdot BC$). Более того, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ не параллельны.

Поскольку $\vec{AD} \neq \vec{BC}$ (они имеют разную длину и не параллельны), условие $\vec{AD} = \vec{BC}$ не выполняется.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о коллинеарности векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ является неверным.

Ответ:

Нет, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ не коллинеарны.