Номер 22.16, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.16. Шар массой 500 кг и объемом 0,7 м³ удерживается в подводном положении при помощи трех тросов одинаковой длины (рис. 22.11). Вычислите силу натяжения каждого троса, если угол между двумя любыми тросами равен 60°.

Рис. 22.11

Дано:

Масса шара $m = 500 \text{ кг}$

Объем шара $V = 0.7 \text{ м}^3$

Количество тросов $N = 3$

Угол между любыми двумя тросами $\theta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Дополнительные константы:

Плотность воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Сила натяжения каждого троса $T$

Решение:

На шар, находящийся в равновесии в подводном положении, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ($F_g$), направленная вертикально вниз: $F_g = mg$.
2. Архимедова (выталкивающая) сила ($F_b$), направленная вертикально вверх: $F_b = \rho_в g V$.
3. Силы натяжения трех тросов ($T_1, T_2, T_3$). Поскольку шар имеет плотность $m/V = 500 \text{ кг} / 0.7 \text{ м}^3 \approx 714.3 \text{ кг/м}^3$, что меньше плотности воды ($1000 \text{ кг/м}^3$), он будет стремиться всплыть. Следовательно, тросы удерживают его, действуя с силой натяжения, направленной вниз. Так как тросы одинаковой длины и расположены симметрично, модули сил натяжения равны: $T_1 = T_2 = T_3 = T$.

По условию задачи, угол между любыми двумя тросами равен $60^\circ$. Если три вектора равной величины $T$ расположены так, что угол между любой парой составляет $60^\circ$, то их векторная сумма $\vec{F}_T = \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3$ будет направлена строго вертикально вниз (в силу симметрии). Модуль этой результирующей силы натяжения можно найти следующим образом:

$|\vec{F}_T|^2 = (\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3) \cdot (\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3)$

$|\vec{F}_T|^2 = |\vec{T}_1|^2 + |\vec{T}_2|^2 + |\vec{T}_3|^2 + 2(\vec{T}_1 \cdot \vec{T}_2 + \vec{T}_1 \cdot \vec{T}_3 + \vec{T}_2 \cdot \vec{T}_3)$

Так как $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = |\vec{T}_3| = T$ и угол между любыми двумя тросами $\theta = 60^\circ$, то скалярное произведение $\vec{T}_i \cdot \vec{T}_j = T^2 \cos \theta = T^2 \cos 60^\circ = T^2 \cdot 0.5$.

$|\vec{F}_T|^2 = T^2 + T^2 + T^2 + 2(T^2 \cdot 0.5 + T^2 \cdot 0.5 + T^2 \cdot 0.5)$

$|\vec{F}_T|^2 = 3T^2 + 2(1.5 T^2)$

$|\vec{F}_T|^2 = 3T^2 + 3T^2$

$|\vec{F}_T|^2 = 6T^2$

Следовательно, модуль результирующей силы натяжения равен: $|\vec{F}_T| = T\sqrt{6}$.

Для того чтобы шар находился в равновесии, сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Рассмотрим проекции сил на вертикальную ось (направленную вверх):

$\sum F_y = 0$

$F_b - F_g - |\vec{F}_T| = 0$

Отсюда следует: $F_b = F_g + |\vec{F}_T|$

Подставим выражения для сил:

$\rho_в g V = mg + T\sqrt{6}$

Выразим силу натяжения $T$:

$T\sqrt{6} = \rho_в g V - mg$

$T = \frac{\rho_в g V - mg}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{g(\rho_в V - m)}{\sqrt{6}}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 (1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.7 \text{ м}^3 - 500 \text{ кг})}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 (700 \text{ кг} - 500 \text{ кг})}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{9.8 \cdot 200}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{1960}{\sqrt{6}}$

$T \approx \frac{1960}{2.44949}$

$T \approx 800.16 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения каждого троса составляет примерно $800.16 \text{ Н}$.