Номер 23.8, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.8. В правильной треугольной приз-ме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точки $D$ и $D_1$ — середи-ны ребер соответственно $AC$ и $A_1C_1$ (рис. 23.8). Точка $D$ — начало коор-динат, отрезки $DB, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этой призмы.

Рис. 23.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Точка $D$ — середина ребра $AC$.

Точка $D_1$ — середина ребра $A_1C_1$.

Точка $D$ — начало координат $D(0,0,0)$.

Отрезок $DB$ лежит на оси $Ox$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$.

Отрезок $DD_1$ лежит на оси $Oz$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Координаты вершин призмы $A, B, C, A_1, B_1, C_1$.

Решение:

Так как призма правильная и все ее ребра равны 1, основанием является равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Точка $D$ является началом координат: $D(0,0,0)$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$. Поскольку $D$ — середина $AC$, длина отрезка $DA = AC/2 = a/2 = 1/2$.Следовательно, координата $A$ по оси $Oy$ равна $1/2$. Поскольку $DA$ лежит на положительной части оси $Oy$, $A$ имеет координаты $A(0, 1/2, 0)$.

Отрезок $DB$ лежит на оси $Ox$. $DB$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$.Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Для $a=1$, $DB = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Следовательно, координата $B$ по оси $Ox$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $DB$ лежит на положительной части оси $Ox$, $B$ имеет координаты $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$.

Отрезок $DD_1$ лежит на оси $Oz$. $DD_1$ — это высота призмы, равная длине ребра, то есть 1.Следовательно, координата $D_1$ по оси $Oz$ равна 1. Поскольку $DD_1$ лежит на положительной части оси $Oz$, $D_1$ имеет координаты $D_1(0,0,1)$.

Найдем координату вершины $C$. Поскольку $D$ — середина отрезка $AC$, и $D(0,0,0)$, $A(0, 1/2, 0)$, то координата $C$ симметрична координате $A$ относительно $D$ по оси $Oy$.$C(0, -1/2, 0)$.

Теперь найдем координаты верхних вершин $A_1, B_1, C_1$.Вершины верхнего основания призмы получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на вектор $\vec{DD_1}$.Вектор $\vec{DD_1}$ имеет координаты $(0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.

$A_1 = A + \vec{DD_1} = (0, 1/2, 0) + (0,0,1) = (0, 1/2, 1)$.

$B_1 = B + \vec{DD_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0) + (0,0,1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$.

$C_1 = C + \vec{DD_1} = (0, -1/2, 0) + (0,0,1) = (0, -1/2, 1)$.

Ответ:

Координаты вершин призмы:

$A(0, \frac{1}{2}, 0)$

$B(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$

$C(0, -\frac{1}{2}, 0)$

$A_1(0, \frac{1}{2}, 1)$

$B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$

$C_1(0, -\frac{1}{2}, 1)$