Номер 23.9, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, вершина $E$ — начало координат, отрезки $ED$, $EA$, $EE_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 23.9). Найдите координаты вершин этой призмы.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Вершина $E$ — начало координат: $E=(0,0,0)$.

Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$.

Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$.

Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$.

Найти:

Координаты всех вершин призмы.

Решение:

Призма является правильной шестиугольной, что означает, что ее основания представляют собой правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $s=1$, и высота призмы $h=1$.

1.Координаты вершины $E$:

Согласно условию, вершина $E$ является началом координат: $E=(0,0,0)$.

2.Координаты вершины $E_1$:

Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$, и его длина равна 1 (т.к. это ребро призмы). Следовательно, $E_1=(0,0,1)$.

3.Координаты вершины $D$:

Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$. $ED$ является ребром основания шестиугольника, поэтому его длина равна 1. Следовательно, $D=(1,0,0)$.

4.Координаты вершины $A$:

Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$. Вершины шестиугольника перечислены в последовательном порядке $A, B, C, D, E, F$. Это означает, что $ED$ и $EF$ являются соседними ребрами, выходящими из вершины $E$. $EA$ же является главной диагональю шестиугольника (соединяет противоположные вершины). Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $s$ равна $2s$. Однако, $EA$ в данном случае соединяет вершины, расположенные через одну (например, $E \to F \to A$ - это путь по двум ребрам). Длина такой диагонали (например, $FA$ или $EB$) равна $s\sqrt{3}$. Поскольку $s=1$, длина диагонали $EA$ равна $\sqrt{3}$. Так как $EA$ лежит на оси $Oy$, координата $A$ будет $(0,\sqrt{3},0)$.

5.Координаты вершин $F, B, C$ в основании ($z=0$):

Теперь, когда у нас есть $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$ и $A=(0, \sqrt{3}, 0)$, мы можем найти остальные вершины основания. Основание — это правильный шестиугольник в плоскости $xy$.Расположим центр шестиугольника $O_{hex}$. Для правильного шестиугольника со стороной $s=1$, если $E=(0,0,0)$ и $D=(1,0,0)$ (ребро $ED$ вдоль оси $Ox$), то центр шестиугольника $O_{hex}$ находится в точке $({1}/{2}, {\sqrt{3}}/{2}, 0)$. Мы можем проверить это, так как расстояние от центра до любой вершины шестиугольника равно его стороне, т.е. 1.Например, расстояние от $O_{hex}$ до $E$: $\sqrt{(0.5-0)^2 + (\sqrt{3}/2-0)^2} = \sqrt{0.25+0.75} = \sqrt{1} = 1$.Теперь найдем остальные вершины, используя центр $O_{hex}$ и углы в $60^\circ$ между радиус-векторами к соседним вершинам от центра.Угловая позиция $E$ относительно $O_{hex}$: вектор $\vec{O_{hex}E} = (0 - 0.5, 0 - \sqrt{3}/2) = (-0.5, -\sqrt{3}/2)$. Угол этого вектора с положительной осью $Ox$ равен $-120^\circ$ или $240^\circ$.Тогда координаты вершин (пересчитанные относительно $O_{hex}$, а затем сдвинутые):

• $E = (0.5 + 1 \cdot \cos(240^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (0,0,0)$.
• $D = (0.5 + 1 \cdot \cos(240^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(240^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(300^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (0.5 + 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (1,0,0)$.
• $C = (0.5 + 1 \cdot \cos(300^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(300^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(0^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(0^\circ)) = (0.5 + 1, \sqrt{3}/2 + 0) = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $B = (0.5 + 1 \cdot \cos(0^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(0^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (0.5 + 0.5, \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
• $A = (0.5 + 1 \cdot \cos(60^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(60^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(120^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2) = (0, \sqrt{3}, 0)$.
• $F = (0.5 + 1 \cdot \cos(120^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(120^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(180^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(180^\circ)) = (0.5 - 1, \sqrt{3}/2 + 0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Все вычисленные координаты вершин основания в плоскости $z=0$:

$A = (0, \sqrt{3}, 0)$

$B = (1, \sqrt{3}, 0)$

$C = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1,0,0)$

$E = (0,0,0)$

$F = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

6.Координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ получены смещением соответствующих вершин нижнего основания на 1 единицу по оси $Oz$.

$A_1 = (0, \sqrt{3}, 1)$

$B_1 = (1, \sqrt{3}, 1)$

$C_1 = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (1,0,1)$

$E_1 = (0,0,1)$

$F_1 = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Ответ:

Координаты вершин призмы:

$A = (0, \sqrt{3}, 0)$

$B = (1, \sqrt{3}, 0)$

$C = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1,0,0)$

$E = (0,0,0)$

$F = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$A_1 = (0, \sqrt{3}, 1)$

$B_1 = (1, \sqrt{3}, 1)$

$C_1 = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (1,0,1)$

$E_1 = (0,0,1)$

$F_1 = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$