Номер 23.6, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.6. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр грани $ABCD$ (рис. 23.6), ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина A имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Найдите координаты всех остальных вершин куба.

Рис. 23.6

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Начало координат $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$.
Ребра куба параллельны соответствующим осям координат.
Координаты вершины $A(-1; 1; 0)$.

Перевод в СИ:
Данные представлены в координатном виде, не требующем перевода в систему СИ. Термин "единичный куб" в данном контексте, учитывая координаты вершины $A$, подразумевает длину ребра куба $a=2$ (единицы длины). Это расхождение обычно решается приоритетом явных числовых координат над общим описанием, если они создают геометрическое противоречие при стандартном толковании.

Найти:
Координаты всех остальных вершин куба.

Решение

1.Определение длины ребра куба.
По условию, начало координат $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$. Ребра куба параллельны осям координат, а вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Так как грань $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$ (поскольку ее центр $O$ имеет $z$-координату 0), и ребра параллельны осям, то координаты вершин $ABCD$ будут иметь вид $(\pm x_0, \pm y_0, 0)$. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата. Если сторона квадрата $a$, то половина диагонали равна $a\sqrt{2}/2$. Расстояние от $O(0;0;0)$ до $A(-1; 1; 0)$ равно $ \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $. Приравнивая это расстояние к $a\sqrt{2}/2$, получаем $ a\sqrt{2}/2 = \sqrt{2} $, откуда $a=2$. Таким образом, длина ребра куба составляет $a=2$ единицы.

2.Координаты вершин нижней грани $ABCD$.
Поскольку $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$, ее ребра параллельны осям, и длина ребра $a=2$, то $x$- и $y$-координаты вершин этой грани будут $\pm \frac{a}{2} = \pm \frac{2}{2} = \pm 1$, а $z$-координата всех вершин этой грани будет $0$.
Задана вершина $A(-1; 1; 0)$. Используя это и учитывая, что $AB$ параллельно оси $X$ и $AD$ параллельно оси $Y$ (согласно рисунку и общей конвенции):

$A$: $(-1; 1; 0)$ (дано)
$B$: Чтобы получить $B$ из $A$, двигаемся вдоль положительного направления оси $X$ на расстояние $a=2$. Координаты $B$ будут $B(-1+2; 1; 0) = (1; 1; 0)$.
$C$: Чтобы получить $C$ из $B$, двигаемся вдоль отрицательного направления оси $Y$ на расстояние $a=2$. Координаты $C$ будут $C(1; 1-2; 0) = (1; -1; 0)$.
$D$: Чтобы получить $D$ из $C$, двигаемся вдоль отрицательного направления оси $X$ на расстояние $a=2$. Координаты $D$ будут $D(1-2; -1; 0) = (-1; -1; 0)$.

3.Координаты вершин верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
Вершины верхней грани находятся на расстоянии $a=2$ вдоль положительного направления оси $Z$ от соответствующих вершин нижней грани (так как $ABCD$ находится в плоскости $z=0$, а куб расположен "над" ней).

$A_1$: Координаты $A$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(-1; 1; 0+2) = (-1; 1; 2)$.
$B_1$: Координаты $B$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(1; 1; 0+2) = (1; 1; 2)$.
$C_1$: Координаты $C$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(1; -1; 0+2) = (1; -1; 2)$.
$D_1$: Координаты $D$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(-1; -1; 0+2) = (-1; -1; 2)$.

Ответ:
Координаты остальных вершин куба:
$B(1; 1; 0)$, $C(1; -1; 0)$, $D(-1; -1; 0)$,
$A_1(-1; 1; 2)$, $B_1(1; 1; 2)$, $C_1(1; -1; 2)$, $D_1(-1; -1; 2)$.