Страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.9. Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени $t=2$ она имела координаты $(3; 4; 0)$, а в момент времени $t=6$ — координаты $(1; 2; -1)$. Какова скорость движения точки?

Дано:

Начальный момент времени: $t_1 = 2 \, \text{с}$
Начальные координаты: $\vec{r_1} = (3; 4; 0)$
Конечный момент времени: $t_2 = 6 \, \text{с}$
Конечные координаты: $\vec{r_2} = (1; 2; -1)$
Тип движения: прямолинейное и равномерное.

Перевод в СИ:

Все величины даны в единицах СИ (секунды для времени). Координаты предполагаются в метрах, что также соответствует СИ. Перевод величин не требуется.

Найти:

Скорость движения точки (модуль вектора скорости): $|\vec{v}| - ?$

Решение:

Поскольку движение точки является прямолинейным и равномерным, ее вектор скорости $\vec{v}$ остается постоянным. Для нахождения вектора скорости нам необходимо определить вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ и промежуток времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло.

Вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ определяется как разность конечного радиус-вектора $\vec{r_2}$ и начального радиус-вектора $\vec{r_1}$: $\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$
$\Delta \vec{r} = (1-3; 2-4; -1-0)$
$\Delta \vec{r} = (-2; -2; -1)$

Промежуток времени $\Delta t$ определяется как разность конечного $t_2$ и начального $t_1$ моментов времени: $\Delta t = t_2 - t_1$
$\Delta t = 6 \, \text{с} - 2 \, \text{с} = 4 \, \text{с}$

Вектор скорости $\vec{v}$ при равномерном движении равен отношению вектора перемещения к промежутку времени: $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
$\vec{v} = \frac{(-2; -2; -1)}{4}$
$\vec{v} = \left(-\frac{2}{4}; -\frac{2}{4}; -\frac{1}{4}\right)$
$\vec{v} = \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right)$

Скорость движения точки – это модуль вектора скорости. Модуль вектора в трехмерном пространстве находится по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
Подставляем компоненты вектора скорости: $|\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}}$
Приводим дроби к общему знаменателю: $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16}}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{4+4+1}{16}}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{9}{16}}$
$|\vec{v}| = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$
$|\vec{v}| = \frac{3}{4}$
$|\vec{v}| = 0.75 \, \text{м/с}$

Ответ:

Скорость движения точки составляет $0.75 \, \text{м/с}$.

27.10. Найдите косинус угла между прямыми, направляющие векторы которых имеют координаты: а) $(1; -1; 1)$ и $(1; 1; 1)$; б) $(1; 0; 0)$ и $(1; 1; 1)$.

a)

Дано:

Направляющие векторы прямых:
$\vec{a} = (1; -1; 1)$
$\vec{b} = (1; 1; 1)$

Найти:

Косинус угла $\theta$ между прямыми, т.е. $\cos(\theta)$.

Решение:

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$
Вычислим длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

Дано:

Направляющие векторы прямых:
$\vec{a} = (1; 0; 0)$
$\vec{b} = (1; 1; 1)$

Найти:

Косинус угла $\theta$ между прямыми, т.е. $\cos(\theta)$.

Решение:

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1$
Вычислим длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Для удобства можно рационализировать знаменатель:
$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

27.11. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 3, DA = 2, DD_1 = 1$. Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Вершина $D$ - начало координат $D(0,0,0)$.
Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.
Длины ребер: $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Зададим координаты вершин параллелепипеда, используя данные о его размерах и расположении в системе координат:
$D = (0,0,0)$
Так как ребро $DC$ лежит на оси $Ox$ и $DC = 3$, то $C = (3,0,0)$.
Так как ребро $DA$ лежит на оси $Oy$ и $DA = 2$, то $A = (0,2,0)$.
Так как ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$ и $DD_1 = 1$, то $D_1 = (0,0,1)$.

Найдем координаты вершин $B$, $B_1$, $C_1$, $A_1$ (хотя $A_1$ не потребуется для данных векторов):
Вершина $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты $x=DC=3$ и $y=DA=2$. Значит, $B = (3,2,0)$.
Вершина $A_1$ получается из $A$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $A_1 = (0,2,1)$.
Вершина $B_1$ получается из $B$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $B_1 = (3,2,1)$.
Вершина $C_1$ получается из $C$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $C_1 = (3,0,1)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $AB_1$ и $BC_1$:
Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты: $B_1 - A = (3-0, 2-2, 1-0) = (3, 0, 1)$.
Вектор $\vec{BC_1}$ имеет координаты: $C_1 - B = (3-3, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используется формула:
$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (3)(0) + (0)(-2) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.
Упростим знаменатель:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Таким образом,
$\cos \theta = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, AC, A_1B_1$:
A. 0,5. B. 1.
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, плоскостью, проходящей через середины ребер $SA, SB, SC$:
A. 0,25. B. 0,5.
C. 1. D. 2.

3. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины $B, E, F_1$:
A. 0,5. B. 1.
C. 1,5. D. 2.

4. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, плоскостью, проходящей через вершины $S, C$ и $F$:
A. 1. B. 2.
C. $\sqrt{2}$. D. $\sqrt{3}$.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$:
A. 1. B. 2.
C. $\sqrt{2}$. D. $\sqrt{3}$.

6. Найдите координаты ортогональной проекции точки $A(-5; 6; -7)$ на плоскость $Oyz$:
A. $(0; 6; -7)$. B. $(-5; 0; -7)$.
C. $(-5; 6; 0)$. D. $(-5; 0; 0)$.

7. Найдите расстояние от точки $B(3; -8; -11)$ до плоскости $Oxy$:
A. -11. B. 11.
C. 3. D. 8.

8. На каком расстоянии от оси $Oz$ находится точка $C(1; -5; 6)$:
A. 5. B. $2\sqrt{13}$.
C. 6. D. $\sqrt{26}$?

9. Найдите расстояние между точками $E(-1; 0; 4)$ и $F(2; -5; 1)$:
A. $5\sqrt{18}$. B. $\sqrt{51}$.
C. $\sqrt{43}$. D. $\sqrt{59}$.

10. Найдите координаты середины отрезка $GH$, если $G(3; -2; 0)$, $H(0; -12; 5)$:
A. $(\frac{3}{2}; -5; 5)$. B. $(3; -7; -\frac{5}{2})$.
C. $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$. D. $(-3; 7; -\frac{5}{2})$.

11. Найдите координаты центра сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z + 1 = 0$:
A. $(1; -1; 2)$. B. $(1; 2; -1)$.
C. $(0; -1; 2)$. D. $(0; 1; -2)$.

12. Найдите координаты вектора $\vec{JI}$, если $I(5; -1; 2)$, $J(3; -2; 0)$:
A. $(2; -1; 2)$. B. $(-2; -1; 2)$.
C. $(2; -3; 2)$. D. $(-2; -1; -2)$.

13. Найдите длину вектора $\vec{KL}$, если $K(0; -1; 2)$, $L(-3; 5; 0)$:
A. $\sqrt{29}$. B. 7.
C. 5. D. $2\sqrt{7}$.

14. Найдите длину вектора $5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$:
A. 36. B. 6.
C. $\sqrt{30}$. D. $2\sqrt{7}$.

15. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}(-5; 6; 1)$ и $\vec{b}(0; -9; 7)$:
A. -52. B. 47.
C. -47. D. -56.

16. При каком значении $k$ векторы $2\vec{a} - k\vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярны, если $\vec{a}(0; 1; -2)$ и $\vec{b}(2; 0; 1)$:
A. 2. B. $3\frac{1}{2}$.
C. $-3\frac{1}{2}$. D. Нет решения?

17. Точка $M(2; 1; m)$ принадлежит плоскости $3x - y + 2z - 1 = 0$. Найдите $m$:
A. 3. B. -3.
C. 2. D. -2.

18. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости $4x - 5y + 2z + 11 = 0$ и проходящей через точку $P(3; -2; -4)$:
A. $4x - 5y + 2z - 10 = 0$. B. $8x - 10y + 4z + 22 = 0$.
C. $4x - 5y + 2z + 14 = 0$. D. $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

19. Определите, какая фигура в пространстве задается уравнением $y^2 + z^2 = 0$:
A. Плоскость $Oyz$. B. Ось $Ox$.
C. Оси $Oy$ и $Oz$. D. Плоскости $Oxy$ и $Oxz$.

20. Определите, какая фигура в пространстве задается неравенством $z \ge 0$:
A. Полуось $Oz$.
B. Полупространство, ограниченное координатной плоскостью $Oyz$.
C. Полупространство, ограниченное координатной плоскостью $Oxz$.
D. Полупространство, ограниченное координатной плоскостью $Oxy$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Все ребра призмы равны $a = 1$. Плоскость сечения проходит через середины ребер $AB$, $AC$, $A_1B_1$. Пусть $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $AC$, $P$ - середина $A_1B_1$.

Найти

Площадь сечения.

Решение

1. Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$, $A_1B_1$. Пусть эти середины $M, N, P$ соответственно.

2. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

3. Так как плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$), линии их пересечения должны быть параллельны. Поскольку $MN$ лежит в плоскости $ABC$, а $P$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то через $P$ должна пройти линия, параллельная $MN$. Пусть эта линия пересекает $A_1C_1$ в точке $Q$. Так как $P$ - середина $A_1B_1$ и $PQ \parallel B_1C_1$ (поскольку $MN \parallel BC \parallel B_1C_1$), то $Q$ должна быть серединой $A_1C_1$. Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поэтому $PQ = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

4. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNQP$ со сторонами $MN=0.5$ и $PQ=0.5$, причем $MN \parallel PQ$. Это параллелограмм.

5. Рассмотрим сторону $MP$. Она соединяет середину $M$ ребра $AB$ и середину $P$ ребра $A_1B_1$. В прямоугольнике $ABB_1A_1$ (который является гранью призмы, так как призма правильная, боковые грани перпендикулярны основаниям), $MP$ параллельна $AA_1$ и $MP = AA_1 = 1$ (длина бокового ребра). Аналогично, $NQ = AA_1 = 1$.

6. Поскольку $MP \parallel AA_1$ и $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, то $MP$ перпендикулярна $MN$. Таким образом, параллелограмм $MNQP$ является прямоугольником.

7. Площадь прямоугольника $S_{MNQP} = MN \cdot MP = 0.5 \cdot 1 = 0.5$.

Ответ: 0,5

Дано

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Сторона основания $AB = a = 1$. Боковые ребра $SA = SB = SC = SD = l = 2$. Плоскость сечения проходит через середины ребер $SA$, $SB$, $SC$. Пусть $M$ - середина $SA$, $N$ - середина $SB$, $P$ - середина $SC$.

Найти

Площадь сечения.

Решение

1. Сечение, проходящее через середины ребер $SA, SB, SC$, является треугольником $MNP$.

2. $MN$ является средней линией треугольника $SAB$. Следовательно, $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

3. $NP$ является средней линией треугольника $SBC$. Следовательно, $NP \parallel BC$ и $NP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

4. $MP$ является средней линией треугольника $SAC$. Следовательно, $MP \parallel AC$ и $MP = \frac{1}{2} AC$.

5. $AC$ - диагональ квадратного основания $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В данном случае $AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

6. Таким образом, $MP = \frac{1}{2} \sqrt{2}$.

7. Треугольник $MNP$ имеет стороны $MN=0.5$, $NP=0.5$, $MP=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора: $MN^2 + NP^2 = (0.5)^2 + (0.5)^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5$. Сравним это с $MP^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = 0.5$. Поскольку $MN^2 + NP^2 = MP^2$, треугольник $MNP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.

8. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов: $S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 = 0.125$.

Ответ: 0,125

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра призмы равны $a = 1$. Плоскость сечения проходит через вершины $B, E, F_1$.

Найти

Площадь сечения.

Решение

1. Пусть начало координат находится в центре нижнего основания. Координаты вершин: $A=(1, 0, 0)$, $B=(0.5, \sqrt{3}/2, 0)$, $E=(-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F=(0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$. Для верхнего основания (высота призмы $h=1$): $A_1=(1, 0, 1)$, $F_1=(0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$.

2. Точки сечения: $B(0.5, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F_1(0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$.

3. Отрезок $BE$ лежит в плоскости нижнего основания. Длина $BE$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$. (Это большая диагональ).

4. Плоскость сечения проходит через $B$ и $E$ в нижнем основании, и через $F_1$ в верхнем основании. Поскольку плоскости оснований параллельны, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием будет параллельна $BE$. Найдем уравнение прямой $BE$ в плоскости $z=0$: $B(0.5, \sqrt{3}/2)$, $E(-0.5, -\sqrt{3}/2)$. Наклон $m = \frac{\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2)}{0.5 - (-0.5)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$. Уравнение прямой $y - \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}(x - 0.5) \Rightarrow y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 \Rightarrow y = \sqrt{3}x$. Или $\sqrt{3}x - y = 0$.

5. Линия пересечения в верхнем основании ($z=1$) должна быть параллельна $y=\sqrt{3}x$, т.е. иметь вид $y'=\sqrt{3}x' + C$. Эта линия проходит через $F_1(0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$. $-\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}(0.5) + C \Rightarrow -\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2 + C \Rightarrow C = -\sqrt{3}$. Уравнение линии: $y' = \sqrt{3}x' - \sqrt{3}$. Проверим, какие вершины верхнего основания лежат на этой линии: $A_1(1, 0, 1)$: $0 = \sqrt{3}(1) - \sqrt{3} = 0$. Да, $A_1$ лежит на этой линии.

6. Таким образом, сечение является четырехугольником $BEF_1A_1$. $BE$ и $A_1F_1$ являются параллельными сторонами (т.к. их проекции на $xy$ плоскость параллельны).

7. Длины сторон четырехугольника: $BE = 2$ (вычислено ранее). $A_1F_1$ - это сторона верхнего основания. $A_1=(1,0,1)$, $F_1=(0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$. $A_1F_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-(-\sqrt{3}/2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25+0.75} = \sqrt{1} = 1$. $BA_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-\sqrt{3}/2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25+0.75+1} = \sqrt{2}$. $EF_1 = \sqrt{(0.5-(-0.5))^2 + (-\sqrt{3}/2-(-\sqrt{3}/2))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.

8. Сечение $BEF_1A_1$ является равнобедренной трапецией с параллельными сторонами $BE=2$ и $A_1F_1=1$, и боковыми сторонами $BA_1=EF_1=\sqrt{2}$.

9. Площадь трапеции $S = \frac{1}{2}(b_1+b_2)h$. Здесь $b_1=2$, $b_2=1$. Для нахождения высоты $h$ трапеции, опустим перпендикуляры из $A_1$ и $F_1$ на $BE$. Длина отрезка, отсекаемого на $BE$ от вершины $F_1$ (или $A_1$), равна $(b_1-b_2)/2 = (2-1)/2 = 0.5$. Тогда $h^2 + (0.5)^2 = (\sqrt{2})^2$. $h^2 + 0.25 = 2$. $h^2 = 2 - 0.25 = 1.75 = \frac{7}{4}$. $h = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

10. Площадь $S = \frac{1}{2}(2+1) \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

11. Приближенное значение $\frac{3\sqrt{7}}{4} \approx \frac{3 \cdot 2.6457}{4} \approx \frac{7.9371}{4} \approx 1.984$. Это значение очень близко к 2.

Ответ: 2

Дано

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$. Сторона основания $a = 1$. Боковые ребра $l = 2$. Плоскость сечения проходит через вершины $S, C, F$.

Найти

Площадь сечения.

Решение

1. Сечение, проходящее через вершины $S, C, F$, является треугольником $SCF$.

2. Две стороны этого треугольника, $SC$ и $SF$, являются боковыми ребрами пирамиды. По условию, их длина $l = 2$. Таким образом, $SC = 2$ и $SF = 2$.

3. Сторона $CF$ является диагональю правильного шестиугольного основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, диагональ, соединяющая противоположные вершины (например, $A$ и $D$, или $C$ и $F$), равна $2a$. В данном случае $a=1$, поэтому $CF = 2 \cdot 1 = 2$.

4. Таким образом, треугольник $SCF$ имеет стороны $SC=2$, $SF=2$, $CF=2$. Это равносторонний треугольник со стороной 2.

5. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$. $S_{SCF} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$. Вектор $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Найти

Длину вектора $|\vec{v}|$.

Решение

1. Векторная сумма $\vec{AB} + \vec{AD}$ по правилу параллелограмма равна вектору диагонали основания $\vec{AC}$.

2. Таким образом, $\vec{v} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

3. Векторная сумма $\vec{AC} + \vec{AA_1}$ по правилу параллелепипеда (или по тому же правилу параллелограмма в плоскости $ACC_1A_1$) равна вектору главной диагонали куба $\vec{AC_1}$.

4. Длина главной диагонали куба со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$.

5. Поскольку куб единичный, $a=1$. $|\vec{v}| = |\vec{AC_1}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Дано

Точка $A(-5; 6; -7)$. Плоскость $Oyz$.

Найти

Координаты ортогональной проекции точки $A$ на плоскость $Oyz$.

Решение

1. Плоскость $Oyz$ определяется уравнением $x=0$.

2. Ортогональная проекция точки $(x_0, y_0, z_0)$ на плоскость $x=0$ имеет координаты $(0, y_0, z_0)$. При этом $x$-координата точки становится равной нулю, а $y$- и $z$-координаты остаются неизменными.

3. Для точки $A(-5; 6; -7)$ ортогональная проекция на плоскость $Oyz$ будет иметь координаты $(0; 6; -7)$.

Ответ: $(0; 6; -7)$

Дано

Точка $B(3; -8; -11)$. Плоскость $Oxy$.

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $Oxy$.

Решение

1. Плоскость $Oxy$ определяется уравнением $z=0$.

2. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $z=0$ равно абсолютной величине ее $z$-координаты, т.е. $|z_0|$.

3. Для точки $B(3; -8; -11)$, $z$-координата равна $-11$.

4. Расстояние равно $|-11| = 11$.

Ответ: $11$}

Дано

Точка $C(1; -5; 6)$. Ось $Oz$.

Найти

Расстояние от точки $C$ до оси $Oz$.

Решение

1. Ось $Oz$ состоит из всех точек с координатами $(0, 0, z)$.

2. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси $Oz$ вычисляется как расстояние от проекции этой точки на плоскость $Oxy$ до начала координат в этой плоскости. Это равно $\sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

3. Для точки $C(1; -5; 6)$, $x_0=1$ и $y_0=-5$.

4. Расстояние равно $\sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Ответ: $\sqrt{26}$

Дано

Точки $E(-1; 0; 4)$ и $F(2; -5; 1)$.

Найти

Расстояние $EF$ между точками.

Решение

1. Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

2. Для точек $E(-1; 0; 4)$ и $F(2; -5; 1)$: $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 0)^2 + (1 - 4)^2}$ $d = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2 + (-3)^2}$ $d = \sqrt{9 + 25 + 9}$ $d = \sqrt{43}$.

Ответ: $\sqrt{43}$

Дано

Точки $G(3; -2; 0)$ и $H(0; -12; 5)$.

Найти

Координаты середины отрезка $GH$.

Решение

1. Координаты середины отрезка $M(x_m, y_m, z_m)$, соединяющего точки $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_1+x_2}{2}$ $y_m = \frac{y_1+y_2}{2}$ $z_m = \frac{z_1+z_2}{2}$

2. Для точек $G(3; -2; 0)$ и $H(0; -12; 5)$: $x_m = \frac{3+0}{2} = \frac{3}{2}$ $y_m = \frac{-2+(-12)}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ $z_m = \frac{0+5}{2} = \frac{5}{2}$

3. Таким образом, координаты середины отрезка $GH$ равны $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$

Дано

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z + 1 = 0$.

Найти

Координаты центра сферы $(a, b, c)$.

Решение

1. Общее уравнение сферы с центром $(a, b, c)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

2. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты для каждой переменной: $x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) + 1 = 0$ $x^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + (z^2 - 4z + 4) - 4 + 1 = 0$ $x^2 + (y+1)^2 - 1 + (z-2)^2 - 4 + 1 = 0$ $x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - 4 = 0$ $x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4$

3. Сравнивая это уравнение с общим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, получаем: $-a = 0 \Rightarrow a = 0$ $-b = 1 \Rightarrow b = -1$ $-c = -2 \Rightarrow c = 2$ $R^2 = 4 \Rightarrow R = 2$

4. Таким образом, координаты центра сферы $(0; -1; 2)$.

Ответ: $(0; -1; 2)$

Дано

Точки $I(5; -1; 2)$ и $J(3; -2; 0)$.

Найти

Координаты вектора $\vec{IJ}$.

Решение

1. Координаты вектора $\vec{AB}$, заданного начальной точкой $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2, z_2)$, определяются как $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$.

2. Для точек $I(5; -1; 2)$ и $J(3; -2; 0)$: $x$-координата: $3 - 5 = -2$ $y$-координата: $-2 - (-1) = -2 + 1 = -1$ $z$-координата: $0 - 2 = -2$

3. Таким образом, координаты вектора $\vec{IJ}$ равны $(-2; -1; -2)$.

Ответ: $(-2; -1; -2)$

Дано

Точки $K(0; -1; 2)$ и $L(-3; 5; 0)$.

Найти

Длину вектора $|\vec{KL}|$.

Решение

1. Сначала найдем координаты вектора $\vec{KL}$. Для точек $K(0; -1; 2)$ и $L(-3; 5; 0)$: $x$-координата: $-3 - 0 = -3$ $y$-координата: $5 - (-1) = 5 + 1 = 6$ $z$-координата: $0 - 2 = -2$ Таким образом, $\vec{KL} = (-3; 6; -2)$.

2. Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

3. Для вектора $\vec{KL}=(-3; 6; -2)$: $|\vec{KL}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-2)^2}$ $|\vec{KL}| = \sqrt{9 + 36 + 4}$ $|\vec{KL}| = \sqrt{49}$ $|\vec{KL}| = 7$.

Ответ: $7$

Дано

Вектор $\vec{v} = 5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$.

Найти

Длину вектора $|\vec{v}|$.

Решение

1. Вектор, заданный в виде линейной комбинации ортов $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, имеет координаты, равные коэффициентам при этих ортах. Таким образом, $\vec{v} = (5; -1; 2)$.

2. Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

3. Для вектора $\vec{v}=(5; -1; 2)$: $|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2}$ $|\vec{v}| = \sqrt{25 + 1 + 4}$ $|\vec{v}| = \sqrt{30}$.

Ответ: $\sqrt{30}$

Дано

Векторы $\vec{a}(-5; 6; 1)$ и $\vec{b}(0; -9; 7)$.

Найти

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Решение

1. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

2. Для векторов $\vec{a}(-5; 6; 1)$ и $\vec{b}(0; -9; 7)$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5)(0) + (6)(-9) + (1)(7)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 - 54 + 7$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = -47$.

Ответ: $-47$

Дано

Векторы $\vec{a}(0; 1; -2)$ и $\vec{b}(2; 0; 1)$. Векторы $\vec{u} = 2\vec{a} - k\vec{b}$ и $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярны.

Найти

Значение $k$.

Решение

1. Если два вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

2. Найдем координаты вектора $\vec{u} = 2\vec{a} - k\vec{b}$: $2\vec{a} = (2 \cdot 0; 2 \cdot 1; 2 \cdot (-2)) = (0; 2; -4)$. $k\vec{b} = (k \cdot 2; k \cdot 0; k \cdot 1) = (2k; 0; k)$. $\vec{u} = (0 - 2k; 2 - 0; -4 - k) = (-2k; 2; -4-k)$.

3. Найдем координаты вектора $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$: $\vec{v} = (0 + 2; 1 + 0; -2 + 1) = (2; 1; -1)$.

4. Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2k)(2) + (2)(1) + (-4-k)(-1)$ $\vec{u} \cdot \vec{v} = -4k + 2 + 4 + k$ $\vec{u} \cdot \vec{v} = -3k + 6$.

5. Приравняем скалярное произведение к нулю: $-3k + 6 = 0$ $-3k = -6$ $k = \frac{-6}{-3}$ $k = 2$.

Ответ: $2$

Дано

Точка $M(2; 1; m)$. Плоскость задана уравнением $3x - y + 2z - 1 = 0$. Точка $M$ принадлежит плоскости.

Найти

Значение $m$.

Решение

1. Если точка принадлежит плоскости, то её координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости.

2. Подставим координаты точки $M(2; 1; m)$ в уравнение плоскости $3x - y + 2z - 1 = 0$: $3(2) - (1) + 2(m) - 1 = 0$

3. Решим полученное уравнение относительно $m$: $6 - 1 + 2m - 1 = 0$ $4 + 2m = 0$ $2m = -4$ $m = \frac{-4}{2}$ $m = -2$.

Ответ: $-2$

Дано

Плоскость $\pi_1$: $4x - 5y + 2z + 11 = 0$. Точка $P(3; -2; -4)$. Искомая плоскость $\pi_2$ параллельна $\pi_1$ и проходит через $P$.

Найти

Уравнение плоскости $\pi_2$.

Решение

1. Если две плоскости параллельны, их нормальные векторы параллельны. Это означает, что их уравнения будут иметь одинаковые или пропорциональные коэффициенты при $x, y, z$. Поэтому уравнение искомой плоскости $\pi_2$ можно записать в виде $4x - 5y + 2z + D = 0$, где $D$ - некоторая константа.

2. Поскольку плоскость $\pi_2$ проходит через точку $P(3; -2; -4)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим их в уравнение: $4(3) - 5(-2) + 2(-4) + D = 0$

3. Решим уравнение относительно $D$: $12 + 10 - 8 + D = 0$ $14 + D = 0$ $D = -14$.

4. Таким образом, уравнение искомой плоскости: $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

Ответ: $4x - 5y + 2z - 14 = 0$

Дано

Уравнение в пространстве $y^2 + z^2 = 0$.

Найти

Какая фигура задается этим уравнением.

Решение

1. Уравнение $y^2 + z^2 = 0$ справедливо тогда и только тогда, когда $y^2 = 0$ и $z^2 = 0$ одновременно, поскольку квадраты действительных чисел неотрицательны, и их сумма может быть равна нулю только если каждое слагаемое равно нулю.

2. Из этого следует, что $y = 0$ и $z = 0$.

3. В трехмерном пространстве: - Условие $y=0$ определяет плоскость $Oxz$ (плоскость, проходящая через оси $Ox$ и $Oz$). - Условие $z=0$ определяет плоскость $Oxy$ (плоскость, проходящая через оси $Ox$ и $Oy$).

4. Пересечение плоскостей $Oxz$ и $Oxy$ является осью $Ox$. При этом координата $x$ остается произвольной. Таким образом, уравнение $y^2 + z^2 = 0$ описывает все точки вида $(x, 0, 0)$, что соответствует оси $Ox$.

Ответ: Ось $Ox$

Дано

Неравенство в пространстве $z \geq 0$.

Найти

Какая фигура задается этим неравенством.

Решение

1. Неравенство $z \geq 0$ описывает все точки в трехмерном пространстве, у которых $z$-координата больше или равна нулю.

2. Это включает в себя все точки, лежащие на координатной плоскости $Oxy$ (где $z=0$), а также все точки, лежащие выше этой плоскости ($z > 0$).

3. Такая область в пространстве называется полупространством.

4. Границей этого полупространства является плоскость $z=0$, то есть координатная плоскость $Oxy$.

Ответ: Полупространство, ограниченное координатной плоскостью $Oxy$