Номер 27.11, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.11. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 3, DA = 2, DD_1 = 1$. Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Вершина $D$ - начало координат $D(0,0,0)$.
Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.
Длины ребер: $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Зададим координаты вершин параллелепипеда, используя данные о его размерах и расположении в системе координат:
$D = (0,0,0)$
Так как ребро $DC$ лежит на оси $Ox$ и $DC = 3$, то $C = (3,0,0)$.
Так как ребро $DA$ лежит на оси $Oy$ и $DA = 2$, то $A = (0,2,0)$.
Так как ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$ и $DD_1 = 1$, то $D_1 = (0,0,1)$.

Найдем координаты вершин $B$, $B_1$, $C_1$, $A_1$ (хотя $A_1$ не потребуется для данных векторов):
Вершина $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты $x=DC=3$ и $y=DA=2$. Значит, $B = (3,2,0)$.
Вершина $A_1$ получается из $A$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $A_1 = (0,2,1)$.
Вершина $B_1$ получается из $B$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $B_1 = (3,2,1)$.
Вершина $C_1$ получается из $C$ сдвигом по $z$ на $DD_1=1$. Значит, $C_1 = (3,0,1)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $AB_1$ и $BC_1$:
Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты: $B_1 - A = (3-0, 2-2, 1-0) = (3, 0, 1)$.
Вектор $\vec{BC_1}$ имеет координаты: $C_1 - B = (3-3, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используется формула:
$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (3)(0) + (0)(-2) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.
Упростим знаменатель:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Таким образом,
$\cos \theta = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$