Номер 27.6, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.6. Найдите координаты точки пересечения плоскости $2x - y + z - 6 = 0$ и прямой, проходящей через точки $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

Дано

Уравнение плоскости: $2x - y + z - 6 = 0$
Прямая проходит через точки $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

Найти:

Координаты точки пересечения плоскости и прямой.

Решение

Для нахождения координат точки пересечения плоскости и прямой необходимо сначала определить параметрические уравнения прямой, а затем подставить их в уравнение плоскости.

1.Нахождение направляющего вектора прямой.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, определяется как разность координат этих точек: $\vec{s} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

В нашем случае, $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

$\vec{s} = (3 - (-1); 1 - 0; 1 - 2) = (4; 1; -1)$.

2.Запись параметрических уравнений прямой.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ с направляющим вектором $\vec{s}(s_x, s_y, s_z)$, имеют вид:

$x = x_A + s_x t$
$y = y_A + s_y t$
$z = z_A + s_z t$

Используя точку $A(-1; 0; 2)$ и направляющий вектор $\vec{s}(4; 1; -1)$, получаем:

$x = -1 + 4t$
$y = 0 + 1t = t$
$z = 2 + (-1)t = 2 - t$

3.Нахождение значения параметра $t$ для точки пересечения.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости $2x - y + z - 6 = 0$:

$2(-1 + 4t) - (t) + (2 - t) - 6 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2 + 8t - t + 2 - t - 6 = 0$

Сгруппируем члены с $t$ и постоянные члены:

$(8t - t - t) + (-2 + 2 - 6) = 0$

$6t - 6 = 0$

Решим уравнение относительно $t$:

$6t = 6$
$t = 1$

4.Нахождение координат точки пересечения.

Подставим найденное значение $t = 1$ обратно в параметрические уравнения прямой:

$x = -1 + 4(1) = -1 + 4 = 3$
$y = 1$
$z = 2 - 1 = 1$

Таким образом, координаты точки пересечения плоскости и прямой - $(3; 1; 1)$. Интересно заметить, что это совпадают с координатами точки $B$. Это означает, что точка $B$ лежит на данной плоскости.

Ответ:

Координаты точки пересечения: $(3; 1; 1)$.