Страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Все ребра равны $1$.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра пирамиды. По условию, $a=1$. Основание $ABCD$ — квадрат, так как пирамида правильная. Пусть $O$ — центр основания $ABCD$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. То есть, $SO \perp ABCD$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямую $AB$. Точка $B$ лежит в плоскости $SBD$. Для нахождения проекции прямой $AB$ на плоскость $SBD$, необходимо найти проекцию точки $A$ на плоскость $SBD$. Пусть эта проекция будет точка $A'$. Тогда проекцией прямой $AB$ на плоскость $SBD$ будет прямая $BA'$. Искомый угол — это $\angle ABA'$.

Плоскость $SBD$ содержит прямую $BD$ и высоту пирамиды $SO$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$. Также, $SO \perp AC$, поскольку $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, лежащим в плоскости $SBD$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$.

Точка $O$ является точкой пересечения прямой $AC$ и плоскости $SBD$. Поскольку $AC \perp SBD$, и $A$ лежит на $AC$, то проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$ является точка $O$. Таким образом, $A' = O$.

Проекцией прямой $AB$ на плоскость $SBD$ является прямая $BO$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $BO$, то есть $\angle ABO$.

Рассмотрим треугольник $ABO$. Длина стороны квадрата $AB = a = 1$. Диагональ квадрата $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Аналогично, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Треугольник $ABO$ имеет стороны $AB=1$, $BO=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $AO=BO$, треугольник $ABO$ является равнобедренным. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным и равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $45^\circ$. $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle ABA'$ равен $\angle ABO$, то есть $45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$.

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны ос-нования которой равны 1, боковые ребра равны 2, $SH$ — высота. Найдите тангенс угла между прямой $SH$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

$SH$ - высота пирамиды.

Найти:

Тангенс угла между прямой $SH$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCDEF$ правильная, её основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, а высота $SH$ опускается в центр $H$ этого шестиугольника.

Угол между прямой $SH$ и плоскостью $SBC$ - это угол между прямой $SH$ и её ортогональной проекцией на плоскость $SBC$. Пусть $K$ - ортогональная проекция точки $H$ на плоскость $SBC$. Тогда $SK$ - это проекция отрезка $SH$ на плоскость $SBC$, и искомый угол равен $\angle HSK$.

1. Определим длину отрезка $HB$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра $H$ до любой вершины (например, $B$) равно длине стороны основания. Следовательно, $HB = a = 1$.

2. Найдем высоту пирамиды $SH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHB$ (так как $SH \perp$ плоскости основания, то $SH \perp HB$). По теореме Пифагора:

$SH^2 + HB^2 = SB^2$

$SH^2 + 1^2 = 2^2$

$SH^2 = 4 - 1 = 3$

$SH = \sqrt{3}$

3. Найдем апофему основания $HM$. Пусть $M$ - середина стороны $BC$. В правильном шестиугольнике треугольник $HBC$ является равносторонним, так как $HB=HC=BC=1$. Тогда $HM$ - это высота равностороннего треугольника со стороной $1$.

$HM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. Проекция точки $H$ на плоскость $SBC$. Так как $SH \perp BC$ (поскольку $SH$ - высота пирамиды, а $BC$ лежит в плоскости основания) и $HM \perp BC$ (поскольку $M$ - середина $BC$ и $H$ - центр правильного шестиугольника), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $SHM$. Отсюда следует, что плоскость $SHM$ перпендикулярна плоскости $SBC$. Значит, чтобы найти ортогональную проекцию точки $H$ на плоскость $SBC$, достаточно опустить перпендикуляр из $H$ на линию пересечения плоскостей $SHM$ и $SBC$, которой является прямая $SM$. Пусть $K$ - основание этого перпендикуляра, то есть $HK \perp SM$. Тогда $HK \perp$ плоскости $SBC$. Таким образом, $K$ - искомая проекция.

5. Найдем длину $SM$ (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHM$ (прямой угол при $H$). По теореме Пифагора:

$SM^2 = SH^2 + HM^2$

$SM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 + \frac{3}{4} = \frac{12+3}{4} = \frac{15}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

6. Найдем длину $HK$. В прямоугольном треугольнике $SHM$, $HK$ - это высота, опущенная на гипотенузу $SM$. Площадь треугольника $SHM$ можно выразить двумя способами:

Площадь($\triangle SHM$) $= \frac{1}{2} \cdot SH \cdot HM = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot HK$

Тогда $SH \cdot HM = SM \cdot HK$

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot HK$

$\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot HK$

$3 = \sqrt{15} \cdot HK$

$HK = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

7. Найдем длину $SK$. В прямоугольном треугольнике $SHK$ (прямой угол при $K$), $SK$ является катетом:

$SK^2 = SH^2 - HK^2$

$SK^2 = (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 3 - \frac{15}{25} = 3 - \frac{3}{5} = \frac{15-3}{5} = \frac{12}{5}$

$SK = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

8. Найдем тангенс искомого угла $\angle HSK$. В прямоугольном треугольнике $SHK$:

$\tan(\angle HSK) = \frac{HK}{SK}$

$\tan(\angle HSK) = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{2\sqrt{15}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{2}$

Ответ:

$\frac{1}{2}$

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой $BE_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (безразмерная величина, так как искомое значение - тангенс угла, который является отношением длин, поэтому единицы измерения сокращаются).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина).

Найти:

Тангенс угла между прямой $BE_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямую $BE_1$ и плоскость $ABC$ (плоскость нижнего основания).

Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как $B$ лежит в этой плоскости.

Проекцией точки $E_1$ на плоскость $ABC$ является точка $E$, так как боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (в правильной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям).

Следовательно, проекцией прямой $BE_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BE$.

Искомый угол – это угол между прямой $BE_1$ и ее проекцией $BE$, то есть $\angle E_1BE$.

Рассмотрим треугольник $BEE_1$.

Так как $EE_1 \perp$ плоскости $ABC$, то $EE_1 \perp BE$. Таким образом, треугольник $BEE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Длина ребра $EE_1$ равна высоте призмы, которая по условию равна 1. Следовательно, $EE_1 = 1$.

Для определения длины катета $BE$ необходимо рассмотреть основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1.

Диагональ $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника (она соединяет противоположные вершины, проходя через центр). Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

Длина стороны шестиугольника $a = 1$.

Следовательно, $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, в прямоугольном треугольнике $BEE_1$ противолежащий катет к углу $\angle E_1BE$ равен $EE_1 = 1$, а прилежащий катет равен $BE = 2$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\angle E_1BE) = \frac{EE_1}{BE}$

$\tan(\angle E_1BE) = \frac{1}{2}$

Ответ:

$0.5$

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая, заданная в условии, — это $BD_1$. Плоскость — это плоскость нижнего основания призмы $ABCDEF$ (обозначена как $ABC$).

Точка $B$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция на эту плоскость — сама точка $B$.

Так как призма правильная, боковое ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекция точки $D_1$ на плоскость $ABC$ — это точка $D$.

Проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол — это угол между прямыми $BD_1$ и $BD$, то есть $\angle D_1BD$.

Рассмотрим треугольник $D_1DB$. Так как $D_1D$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $D_1D$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BD$. Значит, треугольник $D_1DB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Длина ребра $D_1D$ равна 1 по условию (все ребра равны 1). То есть $D_1D = 1$.

Теперь найдем длину отрезка $BD$. Отрезок $BD$ лежит в основании призмы, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник, так как $BC=CD=1$. Угол внутреннего угла правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle BCD = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $BCD$ для нахождения стороны $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение:

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 2 + 1$

$BD^2 = 3$

$BD = \sqrt{3}$

Теперь у нас есть катеты прямоугольного треугольника $D_1DB$: $D_1D = 1$ и $BD = \sqrt{3}$. Искомый угол $\alpha = \angle D_1BD$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\alpha) = \frac{D_1D}{BD}$

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $30^\circ$

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра равны 1.

Длины ребер даны в условных единицах (число 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = AA_1 = 1$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$. Углом между прямой и плоскостью, если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая $AB$ и плоскость $BCC_1$ пересекаются в точке $B$. Чтобы найти угол, нам необходимо спроецировать точку $A$ на плоскость $BCC_1$. Пусть $K$ — проекция точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда искомый угол будет равен углу $\angle ABK$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина стороны $AB = 1$.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \times 180^\circ / 6 = 4 \times 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AK$ к прямой $BC$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$ (тупой угол), точка $K$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. Угол $\angle ABK$ является смежным с углом $\angle ABC$ (в контексте угла между прямой $AB$ и прямой $BC$ на плоскости основания, когда $AK$ опущен перпендикулярно на линию $BC$).

$\angle ABK = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь докажем, что $AK$ перпендикулярен плоскости $BCC_1$.

1. По построению, $AK \perp BC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BCC_1$.

2. Призма правильная, следовательно, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Так как прямая $AK$ лежит в плоскости основания, то $BB_1 \perp AK$.

3. Так как $BB_1 \parallel CC_1$, то $CC_1 \perp AK$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $BCC_1$.

Таким образом, прямая $AK$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$. Следовательно, $AK$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Из этого следует, что точка $K$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ равен углу между $AB$ и ее проекцией $BK$, то есть $\angle ABK$.

Мы ранее вычислили $\angle ABK = 60^\circ$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ равен $60^\circ$.

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AF$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:
Угол между прямой $AF$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина всех ребер, включая стороны основания и боковые ребра, равна 1.

Выберем расположение вершин шестиугольника $ABCDEF$ в плоскости $z=0$ (нижнее основание). Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. В нашем случае $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):
Поместим вершину $A$ на положительную ось $x$.
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
(Остальные вершины для решения не требуются).

Координаты вершин верхнего основания (так как высота призмы равна 1, $z=1$):
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем вектор, направляющий прямую $AF$.
$\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Длина вектора $\vec{AF}$ (так как $AF$ является стороной правильного шестиугольника со стороной 1):
$||\vec{AF}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCC_1$.
Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
Заметим, что все эти точки имеют одинаковую $y$-координату: $\sqrt{3}/2$.
Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \sqrt{3}/2$.
Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n} = (0, 1, 0)$.
Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Угол $\theta$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:
$\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Подставим значения:
$\vec{l} = \vec{AF} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{n} = (0, 1, 0)$
Скалярное произведение:
$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(1) + (0)(0) = 0 - \sqrt{3}/2 + 0 = -\sqrt{3}/2$.

Теперь вычислим $\sin \theta$:
$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{1 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда находим угол $\theta$:
$\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ (безразмерная величина, не требует перевода).

Найти:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол равен $90^\circ$. Если прямая параллельна плоскости, то угол равен $0^\circ$.

Рассмотрим прямую $BF$ и плоскость $BCC_1$. Точка $B$ принадлежит как прямой $BF$, так и плоскости $BCC_1$.

Для определения угла найдем проекцию точки $F$ на плоскость $BCC_1$. Либо покажем, что прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $BF$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, прямая $BF$ перпендикулярна прямой $BB_1$.
Таким образом, $BF \perp BB_1$.

2. Рассмотрим прямую $BC$. Она является ребром основания и лежит в плоскости $BCC_1$. Нам нужно проверить, перпендикулярна ли прямая $BF$ прямой $BC$.

Рассмотрим треугольник $FBC$ в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.

По условию, все ребра призмы равны $1$. Значит, длина стороны шестиугольника $a = BC = 1$.

Длина отрезка $BF$ является длиной короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $FC$ является длиной большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Большая диагональ соединяет противолежащие вершины, ее длина равна $2a$. Однако, $F$ и $C$ не являются противолежащими вершинами в шестиугольнике $ABCDEF$ (если $A, B, C, D, E, F$ расположены последовательно). Противолежащие вершины: $A$ и $D$, $B$ и $E$, $C$ и $F$ (если $ABCDEF$ - это обход по кругу, например, по часовой стрелке). То есть $C$ и $F$ - это противолежащие вершины.

Проверим это с помощью координат. Пусть центр основания находится в начале координат $(0,0,0)$. Сторона шестиугольника $a=1$.
Координаты вершин шестиугольника (для $a=1$):
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$BC = \sqrt{(-1/2 - 1/2)^2 + (\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
$BF = \sqrt{(1/2 - 1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.
$FC = \sqrt{(1/2 - (-1/2))^2 + (-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь проверим, является ли треугольник $FBC$ прямоугольным. Для этого применим теорему Пифагора: $BC^2 + BF^2 = FC^2$.
$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$FC^2 = 2^2 = 4$.
Так как $BC^2 + BF^2 = FC^2$, треугольник $FBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Следовательно, $BF \perp BC$.

Мы установили, что прямая $BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BB_1$ и $BC$), лежащим в плоскости $BCC_1$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BE$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны $1$.

Найти:Угол между прямой $BE$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение

Пусть $a$ — длина ребра призмы. По условию, $a=1$.

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.Так как призма правильная и длина бокового ребра равна длине ребра основания, то высота призмы равна $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр в $(0,0,0)$ и вершина $A$ лежит на оси $Ox$:

$A = (1,0,0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1,0,0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершины $C_1$ верхнего основания получаются добавлением $1$ к $z$-координате $C$:$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Рассмотрим прямую $BE$.Вектор, задающий направление прямой $BE$, это $\vec{v} = \vec{BE}$.$\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.Длина вектора $\vec{BE}$ (диагональ шестиугольника через центр) равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$.$|\vec{BE}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Рассмотрим плоскость $BCC_1$.Точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ лежат в этой плоскости.Заметим, что $y$-координата всех этих точек одинакова и равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, или $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $(0, 1, 0)$.

Угол $\alpha$ между прямой, заданной вектором $\vec{v} = \vec{BE}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется формулой:$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(0) + (-\sqrt{3})(1) + (0)(0) = -\sqrt{3}$.$|\vec{v} \cdot \vec{n}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

Длины векторов:$|\vec{v}| = |\vec{BE}| = 2$.$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Подставим значения в формулу:$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ:$60^\circ$

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1. ($AB = BC = ... = AA_1 = BB_1 = ... = 1$)

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина или условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина или условная единица).

Найти:

Угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Расположим центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная шестиугольная, и длина ее ребра (сторона основания) равна 1, то расстояние от центра основания до любой вершины основания также равно 1.

Выберем оси координат так, чтобы вершина $A$ лежала на оси $x$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна 1, поэтому z-координаты вершин верхнего основания будут на 1 больше, чем у нижнего.

Координаты точки $C_1$: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор прямой $BD$:

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

Вектор $\vec{v} = \vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем модуль вектора $\vec{v}$:

$||\vec{v}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 0} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BCC_1$.

Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Заметим, что все эти точки имеют одинаковую y-координату, равную $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что плоскость $BCC_1$ параллельна оси $xz$ и задается уравнением $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нормальный вектор к плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, имеет вид $\vec{n} = (A, B, C)$.

В нашем случае, $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Следовательно, нормальный вектор плоскости $BCC_1$ равен $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Модуль нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Угол $\phi$ между прямой (направляющий вектор $\vec{v}$) и плоскостью (нормальный вектор $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-\frac{3}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (0)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sin \phi = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $\phi = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$ равен $30^\circ$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между прямой и плоскостью можно использовать формулу синуса угла между вектором, направляющим прямую, и вектором нормали к плоскости.

1.Определим координаты вершин: Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат: $A(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $B(1, 0, 0)$ $C(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $D(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $E(-1, 0, 0)$ $F(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ Координаты верхних вершин получаются добавлением высоты $h=1$ к z-координатам нижних вершин: $A_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ $B_1(1, 0, 1)$ $C_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

2.Найдем направляющий вектор прямой $FB_1$: Вектор $\vec{FB_1}$ имеет координаты, вычисленные как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{FB_1} = B_1 - F = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

3.Найдем вектор нормали к плоскости $BCC_1$: Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1,0,0)$, $C(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $C_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, это, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$: $\vec{BC} = C - B = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $\vec{BB_1} = B_1 - B = (1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$ Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCC_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов: $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 0)$ $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, 0)$

4.Вычислим синус угла $\phi$ между прямой и плоскостью: Синус угла $\phi$ между вектором $\vec{v}$ (направляющий вектор прямой) и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ определяется формулой: $\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$ Вычислим скалярное произведение $\vec{FB_1} \cdot \vec{n}$: $\vec{FB_1} \cdot \vec{n} = (3/2)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(1/2) + (1)(0) = -3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4 + 0 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$ Вычислим длины векторов: $||\vec{FB_1}|| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ $||\vec{n}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{4/4} = \sqrt{1} = 1$ Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$: $\sin \phi = \frac{|-\sqrt{3}|}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5.Найдем угол $\phi$: $\phi = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$

Ответ:

$60^\circ$

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$. То есть, сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:
Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:
Обозначим искомый угол как $\alpha$.
Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$.
Длина стороны шестиугольника $AB = 1$.
Найдем длину диагонали $BD$. Диагональ $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника.
В правильном шестиугольнике со стороной $a$, малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.
Поскольку $a=1$, то $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Также можно найти $BD$ через теорему косинусов. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $BC = CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$
$BD^2 = 2 + 1 = 3$
Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$.
Его стороны: $AB = 1$, $BD = \sqrt{3}$.
Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$. В нашем случае $AD = 2 \cdot 1 = 2$.
Проверим соотношение для сторон треугольника $ABD$:
$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$AD^2 = 2^2 = 4$.
Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BD$ ($AB \perp BD$).

Далее, рассмотрим прямую $DD_1$. Это боковое ребро призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Значит, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.
Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $ABCDEF$, то $DD_1$ перпендикулярна $AB$ ($DD_1 \perp AB$).

Итак, мы установили, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BDD_1$.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Угол между прямой и плоскостью, если прямая перпендикулярна плоскости, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть $\alpha$ — искомый угол.

1.Найдем точку пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$.
Точка $B$ является вершиной нижней грани и принадлежит плоскости $BDD_1$. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$.

2.Найдем проекцию точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$.
Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижней грани $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы $h=1$.
Координаты вершин:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
Чтобы найти уравнение плоскости $BDD_1$, используем векторы, лежащие в этой плоскости.
Вектор $\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Вектор $\vec{DD_1} = D_1 - D = (-1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $BDD_1$ найдем как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.
Для удобства можно взять нормальный вектор, умноженный на 2: $\vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, 0)$.
Уравнение плоскости $BDD_1$ имеет вид $\sqrt{3}x - 3y + Cz + K = 0$. Подставим точку $D(-1,0,0)$:$\sqrt{3}(-1) - 3(0) + C(0) + K = 0 \implies -\sqrt{3} + K = 0 \implies K = \sqrt{3}$.
Уравнение плоскости $BDD_1$: $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$.
Теперь найдем проекцию $A_1'$ точки $A_1(1,0,1)$ на эту плоскость.
Прямая, проходящая через $A_1$ и перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор $\vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, 0)$.
Параметрические уравнения этой прямой:
$x = 1 + \sqrt{3}t$
$y = 0 - 3t$
$z = 1 + 0t = 1$
Подставим эти выражения в уравнение плоскости:
$\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}t) - 3(-3t) + \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} + 3t + 9t + \sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3} + 12t = 0$
$12t = -2\sqrt{3}$
$t = -\frac{2\sqrt{3}}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Координаты точки $A_1'$:
$x_{A_1'} = 1 + \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{6}) = 1 - \frac{3}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$y_{A_1'} = -3(-\frac{\sqrt{3}}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z_{A_1'} = 1$.
Таким образом, $A_1' = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Это координаты точки $B_1$.
То есть, проекция точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$ - это точка $B_1$. Это означает, что отрезок $A_1B_1$ перпендикулярен плоскости $BDD_1$.

3.Определим угол.
Так как $B$ - точка пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$, а $B_1$ - проекция точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$, то проекцией прямой $BA_1$ на плоскость $BDD_1$ является прямая $BB_1$.
Искомый угол $\alpha$ - это угол $\angle A_1BB_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1B_1B$.
Этот треугольник прямоугольный, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно верхней грани, а значит, $BB_1 \perp A_1B_1$. (Угол $\angle A_1B_1B = 90^\circ$).
Длины сторон треугольника $A_1B_1B$:
$BB_1 = h = 1$ (высота призмы).
$A_1B_1 = a = 1$ (сторона основания).
$BA_1 = \sqrt{BB_1^2 + A_1B_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (по теореме Пифагора в $\triangle A_1B_1B$).
В прямоугольном треугольнике $A_1B_1B$ для угла $\angle A_1BB_1$:
$\tan(\angle A_1BB_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1B_1}{BB_1} = \frac{1}{1} = 1$.
Следовательно, $\angle A_1BB_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$ равен $45^\circ$.

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра равны $a = 1$.

Найти:

Угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a$. По условию задачи, $a = 1$.

1.Анализ основания призмы:
Основание призмы $ABCDEF$ является правильным шестиугольником со стороной $a=1$.
Рассмотрим диагонали $FB$ и $BD$ в этом шестиугольнике. В правильном шестиугольнике диагонали, соединяющие вершины через одну (например, $AC, BD, CE, DF, EA, FB$), имеют длину $a\sqrt{3}$.
Таким образом, $FB = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
И $BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Рассмотрим также диагональ $FD$. Вершины $F$ и $D$ разделены одной вершиной $E$ ($F \to E \to D$). Следовательно, длина диагонали $FD$ также равна $a\sqrt{3}$.
$FD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Итак, мы имеем треугольник $FBD$ со сторонами $FB = \sqrt{3}$, $BD = \sqrt{3}$, $FD = \sqrt{3}$.
Поскольку все три стороны треугольника $FBD$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle FBD = 60^\circ$.

2.Анализ плоскости $BDD_1$:
Плоскость $BDD_1$ содержит боковое ребро $DD_1$. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, $DD_1 \perp ABCDEF$.
Если плоскость (в данном случае $BDD_1$) содержит прямую ($DD_1$), которая перпендикулярна другой плоскости ($ABCDEF$), то эти две плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $BDD_1 \perp$ плоскости $ABCDEF$.

3.Нахождение угла между прямой и плоскостью:
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
Прямая $FB$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$.
Линия пересечения этих двух плоскостей ($BDD_1$ и $ABCDEF$) является прямой $BD$.
Если прямая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и пересекает линию их пересечения, то угол между этой прямой и второй плоскостью равен углу между прямой и линией их пересечения, при условии, что прямая не перпендикулярна линии пересечения.
В нашем случае, прямая $FB$ лежит в плоскости $ABCDEF$, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна $ABCDEF$. Линия их пересечения — $BD$. Прямая $FB$ пересекает $BD$ в точке $B$.
Ранее мы установили, что треугольник $FBD$ является равносторонним, и $\angle FBD = 60^\circ$. Поскольку $60^\circ \ne 90^\circ$, прямая $FB$ не перпендикулярна прямой $BD$.
Следовательно, угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$ равен углу между прямой $FB$ и прямой $BD$, то есть $\angle FBD$.

Искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма. Все ребра призмы равны 1.

Прямая: $AF$.

Плоскость: $BDD_1$.

Все длины даны в относительных единицах, их абсолютное значение не влияет на угол. Для удобства расчетов примем единицу измерения как "единица длины". Длина ребра основания $a=1$ ед. Высота призмы $h=1$ ед.

Угол между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль диагонали $AD$.

Тогда координаты вершин нижнего основания (для стороны шестиугольника $s=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $F = (\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку высота призмы равна 1, координаты точки $D_1$ будут:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем вектор направления прямой $AF$.

$\vec{v}_{AF} = F - A = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Длина вектора $AF$: $|\vec{v}_{AF}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BDD_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащие в этой плоскости.

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DD_1} = D_1 - D = (-1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0)\vec{i} - (\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0)\vec{j} + (\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0)\vec{k} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$

Длина нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Угол $\theta$ между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$ определяется по формуле:

$\sin\theta = \frac{|\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}_{AF}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (0) \cdot (0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для $\sin\theta$:

$\sin\theta = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\theta = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

$30^\circ$

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Перевод в СИ:

В данной задаче все линейные размеры даны в относительных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$.

Решение:

1. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

2. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

3. Прямая $AB$ пересекает плоскость $BEE_1$ в точке $B$. Таким образом, точка $B$ является общей для прямой и плоскости.

4. Для нахождения искомого угла необходимо найти проекцию точки $A$ на плоскость $BEE_1$. Пусть $A'$ — это проекция точки $A$ на плоскость $BEE_1$. Тогда искомый угол — это $\angle ABA'$.

5. Плоскость $BEE_1$ является вертикальной плоскостью, поскольку она содержит боковое ребро $EE_1$, перпендикулярное плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения плоскости $BEE_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ является прямой $BE$.

6. Поскольку точка $A$ лежит в плоскости основания, а плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания, проекцией точки $A$ на плоскость $BEE_1$ будет основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на линию пересечения плоскостей, то есть на прямую $BE$. Пусть $A'$ — основание этого перпендикуляра, т.е. $AA' \perp BE$.

7. Теперь рассмотрим треугольник $ABE$, лежащий в основании призмы. Длина стороны шестиугольника $AB = 1$. Диагональ $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника и равна двум сторонам, т.е. $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

8. Длина диагонали $AE$ в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

9. Проверим тип треугольника $ABE$. Применим теорему Пифагора: $AB^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$. Также $BE^2 = 2^2 = 4$. Поскольку $AB^2 + AE^2 = BE^2$, треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle BAE = 90^\circ$).

10. Искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$ — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $BA'$ на плоскость $BEE_1$. Поскольку $A'$ лежит на прямой $BE$, то проекцией прямой $AB$ на плоскость $BEE_1$ является прямая $BE$. Следовательно, искомый угол — это $\angle ABE$.

11. В прямоугольном треугольнике $ABE$ (прямой угол при $A$) мы можем найти косинус угла $\angle ABE$:

$\cos(\angle ABE) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{BE}$

$\cos(\angle ABE) = \frac{1}{2}$

12. Из $\cos(\angle ABE) = \frac{1}{2}$ следует, что $\angle ABE = 60^\circ$. Этот угол и есть искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$.

Ответ:

$60^\circ$