Номер 24, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1. ($AB = BC = ... = AA_1 = BB_1 = ... = 1$)

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина или условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина или условная единица).

Найти:

Угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Расположим центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная шестиугольная, и длина ее ребра (сторона основания) равна 1, то расстояние от центра основания до любой вершины основания также равно 1.

Выберем оси координат так, чтобы вершина $A$ лежала на оси $x$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна 1, поэтому z-координаты вершин верхнего основания будут на 1 больше, чем у нижнего.

Координаты точки $C_1$: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор прямой $BD$:

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

Вектор $\vec{v} = \vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем модуль вектора $\vec{v}$:

$||\vec{v}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 0} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BCC_1$.

Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Заметим, что все эти точки имеют одинаковую y-координату, равную $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что плоскость $BCC_1$ параллельна оси $xz$ и задается уравнением $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нормальный вектор к плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, имеет вид $\vec{n} = (A, B, C)$.

В нашем случае, $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Следовательно, нормальный вектор плоскости $BCC_1$ равен $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Модуль нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Угол $\phi$ между прямой (направляющий вектор $\vec{v}$) и плоскостью (нормальный вектор $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-\frac{3}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (0)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sin \phi = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $\phi = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$ равен $30^\circ$.