Номер 31, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$.

Решение:

1.Анализ прямой $AD$: Прямая $AD$ является одной из больших диагоналей основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы. В правильном шестиугольнике большая диагональ проходит через его центр $O$. Таким образом, прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$.

2.Анализ плоскости $BEE_1$: Плоскость $BEE_1$ определяется тремя точками $B$, $E$ и $E_1$. Прямая $BE$ является малой диагональю основания $ABCDEF$. Прямая $EE_1$ является боковым ребром призмы.

3.Взаимное расположение плоскостей: Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Так как плоскость $BEE_1$ содержит прямую $EE_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

4.Нахождение угла между прямой и плоскостью: Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

* Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. * Плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. * Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей ($ABCDEF$ и $BEE_1$) является прямая $BE$. * Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, то ее ортогональной проекцией на другую плоскость является их линия пересечения. Таким образом, проекцией прямой $AD$ на плоскость $BEE_1$ является прямая $BE$. * Следовательно, искомый угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$.

5.Вычисление угла между прямыми $AD$ и $BE$: Обе прямые $AD$ и $BE$ лежат в плоскости основания $ABCDEF$ и проходят через центр $O$ правильного шестиугольника.

Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как сторона шестиугольника $a=1$, вершины можно задать координатами: $A = (1, 0, 0)$ $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Прямая $AD$ совпадает с осью $Ox$. В качестве направляющего вектора для прямой $AD$ можно взять $\vec{u} = \vec{OA} = (1, 0, 0)$.

Прямая $BE$ проходит через центр $O$. В качестве направляющего вектора для прямой $BE$ можно взять $\vec{v} = \vec{OB} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(\frac{1}{2}) + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0)(0) = \frac{1}{2}$

Вычислим длины векторов: $||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$ $||\vec{v}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Теперь найдем значение косинуса угла: $\cos(\alpha) = \frac{|\frac{1}{2}|}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$