Номер 34, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $BDE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $BDE_1$.

Решение

Для решения задачи введем систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная и длина ребра основания равна $1$, а также высота призмы (длина бокового ребра) равна $1$, координаты вершин будут следующими:

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с $z$-координатой, увеличенной на $1$):

• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем направляющий вектор прямой $CC_1$.

Вектор $\vec{v} = \vec{CC_1} = C_1 - C = (-1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Модуль вектора $\vec{v}$ равен $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BDE_1$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$.

Координаты точек: $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}((\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2)) - \vec{j}((3/2)(1) - 0(1/2)) + \vec{k}((3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(1/2))$

$\vec{n} = \vec{i}(\sqrt{3}/2) - \vec{j}(3/2) + \vec{k}(-3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$\vec{n} = (\sqrt{3}/2, -3/2, -4\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$

Модуль нормального вектора $\vec{n}$ равен:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Угол $\theta$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, 0, 1) \cdot (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3}) = 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + 0 \cdot (-3/2) + 1 \cdot (-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$