Номер 35, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная и длина ребра основания $a=1$, то расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Расположим вершины основания следующим образом:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания имеют те же координаты по $x$ и $y$, но $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1.

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем вектор, направляющий прямую $AB$:

$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора $\vec{AB}$:

$||\vec{AB}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BDE_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $B$, $D$, $E_1$.

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$

$n_x = (\sqrt{3}/2)(1) - (0)(-\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}/2$

$n_y = -( (3/2)(1) - (0)(1/2) ) = -3/2$

$n_z = (3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(1/2) = -3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$.

Длина нормального вектора:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Угол $\theta$ между прямой (направляющий вектор $\vec{v} = \vec{AB}$) и плоскостью (нормальный вектор $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{n} = (-1/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2)(-3/2) + (0)(-\sqrt{3})$

$= -\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 + 0 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то угол $\theta = 45^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$ равен $45^\circ$.