Номер 7, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Плоскости: $AFF_1$ и $ACC_1$.

Перевод в СИ:

Для геометрических задач, не содержащих численных значений, перевод в СИ не требуется. Используем обозначения $a$ для стороны основания и $h$ для высоты призмы.

Найти:

Угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения. Эти прямые должны быть проведены из одной точки на линии пересечения.

1. Определим линию пересечения плоскостей $AFF_1$ и $ACC_1$. Обе плоскости содержат общую вершину $A$. Так как $AA_1$ является ребром призмы, плоскость $AFF_1$ содержит ребро $AA_1$ (являясь боковой гранью $AFF_1A_1$). Плоскость $ACC_1$ также содержит ребро $AA_1$ (так как $A_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$). Следовательно, линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $ACC_1$ — это прямая $AA_1$.

2. Из точки $A$ (лежащей на линии пересечения $AA_1$) проведем прямые, перпендикулярные $AA_1$, по одной в каждой плоскости.

В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, $AA_1 \perp AF$ (так как $AF$ лежит в плоскости основания) и $AA_1 \perp AC$ (так как $AC$ лежит в плоскости основания).

При этом прямая $AF$ лежит в плоскости $AFF_1$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$.

3. Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен углу между прямыми $AF$ и $AC$, то есть $\angle FAC$.

4. Найдем значение угла $\angle FAC$. Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника будет $a$.

Длина стороны $AF = a$.

Длина диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике, соединяющей вершины через одну, равна $a\sqrt{3}$. Это можно показать, рассмотрев треугольник $ABC$. В $\triangle ABC$ стороны $AB=BC=a$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$.

Длина диагонали $FC$ в правильном шестиугольнике. Вершина $F$ и вершина $C$ являются противоположными вершинами в шестиугольнике (то есть они находятся на одной главной диагонали, проходящей через центр шестиугольника). Поэтому длина $FC$ равна удвоенной длине стороны, то есть $FC = 2a$.

5. Рассмотрим треугольник $FAC$ со сторонами $AF=a$, $AC=a\sqrt{3}$ и $FC=2a$. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle FAC$ (обозначим его $\alpha$):

$FC^2 = AF^2 + AC^2 - 2 \cdot AF \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$

$(2a)^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) \cdot \cos(\alpha)$

$4a^2 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$4a^2 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$0 = -2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

Так как $a \neq 0$, то $2a^2\sqrt{3} \neq 0$. Следовательно, $\cos(\alpha) = 0$.

Это означает, что $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен $90^\circ$.