Номер 8, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите

угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$.

Дано: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо определить линию их пересечения, а затем построить в каждой из плоскостей прямую, перпендикулярную линии пересечения в одной и той же точке. Угол между этими двумя прямыми и будет искомым углом между плоскостями.

1. Определим линию пересечения плоскостей $ABB_1$ и $AEE_1$. Обе плоскости содержат общее ребро $AA_1$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей - прямая $AA_1$.

2. Выберем точку $A$ на линии пересечения $AA_1$. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что $AA_1 \perp AB$ (поскольку $AB$ лежит в плоскости основания) и $AA_1 \perp AE$ (поскольку $AE$ также лежит в плоскости основания).

   Таким образом, $AB$ — это прямая, лежащая в плоскости $ABB_1$ и перпендикулярная $AA_1$ в точке $A$.

   А $AE$ — это прямая, лежащая в плоскости $AEE_1$ и перпендикулярная $AA_1$ в точке $A$.

   Следовательно, искомый угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $AE$, то есть $\angle BAE$.

3. Найдем значение угла $\angle BAE$ в основании призмы, которое представляет собой правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника.

   Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных треугольников, соединив его вершины с центром $O$. Таким образом, углы, образованные радиусами, идущими к соседним вершинам, равны $60^\circ$. Например, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60^\circ$.

   Угол $\angle BAE$ является вписанным углом в окружности, описанной вокруг шестиугольника (все вершины шестиугольника лежат на этой окружности). Этот угол опирается на дугу $BE$.

   Дуга $BE$ состоит из трех дуг: $BC$, $CD$ и $DE$. Каждая из этих дуг соответствует центральному углу $60^\circ$.

   Следовательно, центральный угол, опирающийся на дугу $BE$, равен $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

   Так как центральный угол $\angle BOE = 180^\circ$, отрезок $BE$ является диаметром описанной окружности.

   Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$.

   Таким образом, $\angle BAE = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.