Задания, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Проверьте самостоятельно, что если угол между векторами нормалей острый или прямой, то он равен углу между плоскостями, а если угол между векторами нормалей тупой, то он равен 180° минус угол между плоскостями.

Дано: Две плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Пусть $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - векторы нормалей к этим плоскостям. Угол между векторами нормалей обозначим как $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$. Угол между плоскостями обозначим как $\phi$, где $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$ (по определению угла между плоскостями как наименьшего угла).

Найти: Проверить (доказать) следующие утверждения:

1. Если угол между векторами нормалей острый или прямой ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$), то он равен углу между плоскостями ($\alpha = \phi$).
2. Если угол между векторами нормалей тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то он равен $180^\circ$ минус угол между плоскостями ($\alpha = 180^\circ - \phi$).

Решение

Косинус угла $\alpha$ между векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

Угол $\phi$ между плоскостями по определению является острым или прямым углом между их нормальными векторами. Это означает, что косинус угла между плоскостями определяется как абсолютное значение косинуса угла между векторами нормалей:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = |\cos \alpha|$

Поскольку угол между плоскостями $\phi$ по определению всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно, значение $\cos \phi$ всегда неотрицательно.

если угол между векторами нормалей острый или прямой

Пусть угол $\alpha$ между векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ острый или прямой. Это означает, что $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.

В этом диапазоне значений угла $\alpha$, значение $\cos \alpha$ является неотрицательным ($\cos \alpha \ge 0$).

Следовательно, абсолютное значение косинуса равно самому косинусу: $|\cos \alpha| = \cos \alpha$.

Из определения угла между плоскостями мы имеем:

$\cos \phi = |\cos \alpha| = \cos \alpha$

Поскольку оба угла $\phi$ (по определению) и $\alpha$ (по условию) находятся в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$, и их косинусы равны, то сами углы должны быть равны:

$\phi = \alpha$

Таким образом, если угол между векторами нормалей острый или прямой, то он равен углу между плоскостями.

Ответ: Утверждение доказано.

если угол между векторами нормалей тупой

Пусть угол $\alpha$ между векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ тупой. Это означает, что $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.

В этом диапазоне значений угла $\alpha$, значение $\cos \alpha$ является отрицательным ($\cos \alpha < 0$).

Следовательно, абсолютное значение косинуса равно отрицательному значению самого косинуса: $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$.

Из определения угла между плоскостями мы имеем:

$\cos \phi = |\cos \alpha| = -\cos \alpha$

Известно тригонометрическое тождество: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:

$\cos \phi = \cos(180^\circ - \alpha)$

Поскольку $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$, то $0^\circ \le 180^\circ - \alpha < 90^\circ$.

Таким образом, оба угла $\phi$ (по определению) и $(180^\circ - \alpha)$ находятся в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$, и их косинусы равны, то сами углы должны быть равны:

$\phi = 180^\circ - \alpha$

Отсюда, выражая $\alpha$, получаем:

$\alpha = 180^\circ - \phi$

Таким образом, если угол между векторами нормалей тупой, то он равен $180^\circ$ минус угол между плоскостями.

Ответ: Утверждение доказано.