Номер 26.14, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $D$ — начало координат, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно и $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$ (рис. 26.4). Напишите уравнение плоскости $ACD_1$.

Рис. 26.4

Дано

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ — начало координат.

Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Длины ребер: $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$.

Найти:

Уравнение плоскости $ACD_1$.

Решение

Поскольку вершина $D$ является началом координат $(0,0,0)$, а ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно, мы можем определить координаты вершин $A, C, D_1$:

• Вершина $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $DC = 3$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $C$ будут $(3,0,0)$.

• Вершина $A$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии $DA = 2$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $A$ будут $(0,2,0)$.

• Вершина $D_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии $DD_1 = 1$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $D_1$ будут $(0,0,1)$.

Таким образом, мы имеем три точки, через которые проходит плоскость $ACD_1$:

• $A = (0,2,0)$

• $C = (3,0,0)$

• $D_1 = (0,0,1)$

Для нахождения уравнения плоскости $ACD_1$ воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях. Общий вид такого уравнения: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Из координат точек $A, C, D_1$ видно, что плоскость $ACD_1$ пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $C(3,0,0)$, значит $a = 3$.

• Ось $Oy$ в точке $A(0,2,0)$, значит $b = 2$.

• Ось $Oz$ в точке $D_1(0,0,1)$, значит $c = 1$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$

Чтобы преобразовать это уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2, 1), которое равно 6:

$6 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1}\right) = 6 \cdot 1$

$2x + 3y + 6z = 6$

Перенесем свободный член в левую часть:

$2x + 3y + 6z - 6 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости $ACD_1$: $2x + 3y + 6z - 6 = 0$.