Номер 26.20, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.20. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $BC$ и $CC_1$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $AEF$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ единичный. Вершина $D$ - начало координат. Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Точка $E$ - середина ребра $BC$. Точка $F$ - середина ребра $CC_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$. Единицы измерения не указаны, поэтому будем считать $a=1$ условная единица длины.

Найти:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $AEF$.

Решение:

Зададим координаты вершин куба, исходя из условия, что $D$ - начало координат $(0,0,0)$ и ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин: $D = (0,0,0)$ $C = (1,0,0)$ (вдоль $Ox$) $A = (0,1,0)$ (вдоль $Oy$) $D_1 = (0,0,1)$ (вдоль $Oz$)

Найдем координаты остальных необходимых вершин: $B = (1,1,0)$ (так как $ABCD$ - грань, $B = C + \vec{AD} = (1,0,0) + (0,1,0)$ - нет, это не так. $B = A + \vec{DC} = (0,1,0) + (1,0,0) = (1,1,0)$ или $B = C + \vec{DA}$ - это не так. $B$ является результатом сдвига $D$ на $C$ по $x$ и на $A$ по $y$, так что $B = (1,1,0)$). $C_1 = (1,0,1)$ (из $C$ по оси $Oz$).

Теперь найдем координаты точек $E$ и $F$: Точка $E$ - середина ребра $BC$. $B = (1,1,0)$, $C = (1,0,0)$. $E = (\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.

Точка $F$ - середина ребра $CC_1$. $C = (1,0,0)$, $C_1 = (1,0,1)$. $F = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$.

Координаты точек, определяющих плоскость $AEF$: $A = (0,1,0)$ $E = (1, \frac{1}{2}, 0)$ $F = (1, 0, \frac{1}{2})$

Найдем уравнение плоскости $AEF$. Для этого используем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$. $\vec{AE} = E - A = (1-0, \frac{1}{2}-1, 0-0) = (1, -\frac{1}{2}, 0)$. $\vec{AF} = F - A = (1-0, 0-1, \frac{1}{2}-0) = (1, -1, \frac{1}{2})$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AEF$ перпендикулярен обоим векторам $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$. Его можно найти как векторное произведение $\vec{AE} \times \vec{AF}$. $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 1 & -1 & 1/2 \end{vmatrix} $ $ \vec{n} = \mathbf{i} \left( (-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (0)(-1) \right) - \mathbf{j} \left( (1)(\frac{1}{2}) - (0)(1) \right) + \mathbf{k} \left( (1)(-1) - (-\frac{1}{2})(1) \right) $ $ \vec{n} = \mathbf{i} (-\frac{1}{4}) - \mathbf{j} (\frac{1}{2}) + \mathbf{k} (-1 + \frac{1}{2}) $ $ \vec{n} = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) $

Для удобства умножим координаты нормального вектора на $-4$, чтобы получить целочисленные значения: $ \vec{n'} = (1, 2, 2) $

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя $\vec{n'} = (1,2,2)$, получаем $x + 2y + 2z + D_{plane} = 0$. Чтобы найти $D_{plane}$, подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $A=(0,1,0)$: $1(0) + 2(1) + 2(0) + D_{plane} = 0$ $2 + D_{plane} = 0$ $D_{plane} = -2$

Таким образом, уравнение плоскости $AEF$ равно: $x + 2y + 2z - 2 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $D=(0,0,0)$ до плоскости $x + 2y + 2z - 2 = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$ выглядит так: $ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

В нашем случае: $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$ $(A, B, C, D_{plane}) = (1, 2, 2, -2)$

$ d = \frac{|1(0) + 2(0) + 2(0) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} $ $ d = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} $ $ d = \frac{2}{\sqrt{9}} $ $ d = \frac{2}{3} $

Ответ:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $AEF$ равно $ \frac{2}{3} $.