Номер 26.17, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Вершина $E$ — начало координат, отрезки $ED, EA, EE_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 26.5). Найдите косинус угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$.

Рис. 26.5

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны $1$.
Вершина $E$ является началом координат.
Отрезки $ED$, $EA$, $EE_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Найти:
Косинус угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$.

Решение:
Поскольку призма является правильной шестиугольной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все ребра равны $1$, что означает, что длина стороны основания $s=1$ и высота призмы $h=1$.
Вершина $E$ является началом координат: $E=(0,0,0)$.
Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$. Поскольку $EE_1$ является ребром, его длина $1$. Следовательно, $E_1=(0,0,1)$.
Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$. Поскольку $ED$ является ребром основания, его длина $1$. Следовательно, $D=(1,0,0)$.
Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$. Вершины шестиугольника $A,B,C,D,E,F$ перечислены последовательно. $E$ - это вершина. $D$ и $F$ - смежные вершины к $E$. $A$ - это вершина, которая получается, если от $E$ пройти через $F$. То есть $E-F-A$. Таким образом, отрезок $EA$ является короткой диагональю правильного шестиугольника. Длина короткой диагонали шестиугольника со стороной $s$ равна $s\sqrt{3}$. В нашем случае $s=1$, поэтому $EA=\sqrt{3}$.
Так как $EA$ лежит на оси $Oy$, то $A=(0,\sqrt{3},0)$.
Таким образом, определены координаты ключевых вершин:
$E=(0,0,0)$
$D=(1,0,0)$
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$E_1=(0,0,1)$
Для нахождения косинуса угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$, нам нужны нормальные векторы этих плоскостей. Для этого необходимо определить координаты всех вершин, участвующих в определении плоскостей.
Найдем координаты вершины $F$. Вершина $F$ является смежной к $E$ и $A$.
Учитывая, что $EF=1$ и $AF=1$, а $E=(0,0,0)$ и $A=(0,\sqrt{3},0)$, пусть $F=(x_F, y_F, 0)$.
$EF^2 = x_F^2 + y_F^2 = 1^2 = 1$.
$AF^2 = (x_F-0)^2 + (y_F-\sqrt{3})^2 = 1^2 = 1$.
Подставим $x_F^2+y_F^2=1$ во второе уравнение:
$1 + y_F^2 - 2\sqrt{3}y_F + 3 = 1$
$y_F^2 - 2\sqrt{3}y_F + 3 = 0$
Это квадратное уравнение для $y_F$. Но есть более простой путь: $x_F^2+(y_F-\sqrt{3})^2=1 \Rightarrow x_F^2+y_F^2-2\sqrt{3}y_F+3=1$.
Так как $x_F^2+y_F^2=1$, то $1-2\sqrt{3}y_F+3=1 \Rightarrow 4-2\sqrt{3}y_F=1 \Rightarrow 2\sqrt{3}y_F=3 \Rightarrow y_F=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем $x_F$: $x_F^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 \Rightarrow x_F^2 + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow x_F^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_F = \pm \frac{1}{2}$.
Ориентация шестиугольника $A,B,C,D,E,F$ обычно предполагается против часовой стрелки. $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$. Чтобы $F$ был вторым смежным ребром (т.е. $\angle DEF = 120^\circ$), то $F$ должен иметь отрицательную $x$-координату.
Проверим: $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$. Тогда $F$ как $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Это соответствует $x_F=-1/2$ и $y_F=\sqrt{3}/2$.
Таким образом, $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Найдем координаты вершины $B$. Вершина $B$ смежна с $A$ и $C$.
Чтобы найти $B$, мы можем использовать центр шестиугольника.
Пусть центр шестиугольника $O_h=(x_c, y_c, 0)$. $O_h$ равноудален от всех вершин на расстояние $s=1$.
$O_h E^2 = x_c^2 + y_c^2 = 1$.
$O_h A^2 = x_c^2 + (y_c-\sqrt{3})^2 = 1$.
Из первого уравнения $x_c^2=1-y_c^2$. Подставим во второе:
$1-y_c^2 + (y_c-\sqrt{3})^2 = 1$
$1-y_c^2 + y_c^2 - 2\sqrt{3}y_c + 3 = 1$
$4 - 2\sqrt{3}y_c = 1 \Rightarrow 2\sqrt{3}y_c = 3 \Rightarrow y_c = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $x_c^2 = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_c = \pm \frac{1}{2}$.
Ориентация $D=(1,0,0)$, $E=(0,0,0)$, $A=(0,\sqrt{3},0)$ и $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ указывает, что центр шестиугольника находится в первом квадранте (или близко к нему).
Выберем $x_c=1/2$.
Итак, центр основания $O_h=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Для нахождения $B$:
Вектор $\vec{O_h A} = A - O_h = (0-1/2, \sqrt{3}-\sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор $\vec{O_h B}$ получается из $\vec{O_h A}$ поворотом на $60^\circ$ против часовой стрелки (порядок $A,B,C,D,E,F$).
Матрица поворота на $60^\circ$: $R_{60} = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$.
$\vec{O_h B} = R_{60} \cdot \vec{O_h A} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1/2)(-1/2) - (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) \\ (\sqrt{3}/2)(-1/2) + (1/2)(\sqrt{3}/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 - 3/4 \\ -\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$B = O_h + \vec{O_h B} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (-1, 0, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Координаты вершин, необходимых для вычислений:
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$B=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
$D=(1,0,0)$
$D_1=(1,0,1)$ (так как $DD_1$ является боковым ребром, $D_1=D+(0,0,1)$)
$E_1=(0,0,1)$
$F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
Заметим, что координаты $B$ и $F$ получились одинаковыми. Это означает, что $A,B,C,D,E,F$ не образуют правильный шестиугольник в данной системе координат. Однако, поскольку в условии задачи сказано "правильной шестиугольной призме", это может означать, что ребра равны, а углы между ними соответствуют ориентации по осям. Возможно, имеется в виду, что $E,D,A$ находятся на осях, а остальные точки достроены, но такой подход приводит к геометрическим противоречиям (например, $B=F$).
Часто в таких задачах подразумевается, что данные, описывающие положение вершин на осях, имеют приоритет над стандартными углами многоугольника, но сохраняют его симметрию и длины сторон. Если $B=F$, то это не шестиугольник.
Повторно проверяем интерпретацию: "отрезки ED, EA, EE1 лежат на осях координат Ox, Oy, Oz соответственно".
Это означает, что $E=(0,0,0)$, $D=(x_D,0,0)$, $A=(0,y_A,0)$, $E_1=(0,0,z_{E_1})$.
"все ребра равны 1".
Значит, $EE_1=1 \implies z_{E_1}=1$. $E_1=(0,0,1)$.
$ED=1 \implies x_D=1$. $D=(1,0,0)$.
$EA$ - это длина отрезка от $E$ до $A$. Если $A$ - это вершина регулярного шестиугольника, то $EA$ может быть ребром (длина 1), короткой диагональю (длина $\sqrt{3}$), или длинной диагональю (длина 2).
Порядок вершин $A,B,C,D,E,F$.
Относительно вершины $E$: $D$ - сосед (ребро), $F$ - сосед (ребро).
$A$ - это $F$'s сосед (ребро $AF=1$).
Следовательно, отрезок $EA$ является короткой диагональю (длина $s\sqrt{3}=\sqrt{3}$).
Таким образом, $A=(0,\sqrt{3},0)$ является наиболее логичной интерпретацией.
Полученные координаты $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ показывают, что $B=F$. Это указывает на то, что сама формулировка задачи (координатная привязка) входит в противоречие с определением "правильного шестиугольника".
В случае подобных задач в учебниках, часто подразумевается, что заданное расположение на осях *определяет* эти точки, а уже исходя из них, строятся остальные по правилам шестиугольника.
Единственный способ решить эту задачу без противоречий, это принять, что $ED$, $EA$ и $EE_1$ являются взаимоперпендикулярными отрезками, а длина ребра шестиугольника равна 1. А также, что $EA$ - это *короткая* диагональ.
Тогда $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A=(0,\sqrt{3},0)$ (сохраняет $AF=1$).
И $B$ не будет совпадать с $F$.
Проблема возникла из-за того, что $\vec{O_h B}$ оказался $(-1,0)$.
Пересчитаем $B$ относительно $A$: $B$ является соседней с $A$, $AB=1$.
Центр $O_h=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{O_h A}=(-1/2, \sqrt{3}/2)$. $\vec{O_h F}=(-1,0)$. $\vec{O_h E}=(-1/2, -\sqrt{3}/2)$. $\vec{O_h D}=(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Порядок $A,B,C,D,E,F$ (против часовой стрелки):
$A=(0,\sqrt{3},0)$.
$F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$E=(0,0,0)$.
$D=(1,0,0)$.
Следующая после $D$ по часовой стрелке - $C$. Следующая после $E$ по часовой стрелке - $D$.
Тогда $\vec{O_h C}$ - это $\vec{O_h D}$ повернутый на $60^\circ$ против часовой стрелки.
$\vec{O_h D}=(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
$\vec{O_h C} = R_{60} \cdot (1/2, -\sqrt{3}/2) = (1/2 \cdot 1/2 - (-\sqrt{3}/2)\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2 \cdot 1/2 + 1/2 \cdot (-\sqrt{3}/2)) = (1/4+3/4, \sqrt{3}/4-\sqrt{3}/4) = (1,0)$.
$C = O_h + \vec{O_h C} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (1,0,0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{O_h B}$ - это $\vec{O_h C}$ повернутый на $60^\circ$ против часовой стрелки.
$\vec{O_h B} = R_{60} \cdot (1,0) = (1/2, \sqrt{3}/2)$.
$B = O_h + \vec{O_h B} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
Итак, перепроверенные координаты:
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$B=(1,\sqrt{3},0)$
$C=(3/2,\sqrt{3}/2,0)$
$D=(1,0,0)$
$E=(0,0,0)$
$F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
Эти координаты образуют правильный шестиугольник со стороной 1. $B$ и $F$ не совпадают. Данная система координат (с E на (0,0,0), D на (1,0,0), A на (0, sqrt(3), 0)) корректна и непротиворечива для правильного шестиугольника. Угол между $ED$ и $EA$ составляет $90^\circ$, хотя в правильном шестиугольнике угол между ребром и короткой диагональю составляет $30^\circ$. Это означает, что оси координат не "естественно" выровнены по углам шестиугольника, а являются просто заданным каркасом, к которому привязаны точки $D$ и $A$.
Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ получены смещением соответствующих вершин нижнего основания на $1$ по оси $Oz$.
$A_1=(0,\sqrt{3},1)$
$B_1=(1,\sqrt{3},1)$
$C_1=(3/2,\sqrt{3}/2,1)$
$D_1=(1,0,1)$
$E_1=(0,0,1)$
$F_1=(-1/2,\sqrt{3}/2,1)$
Расчет нормального вектора для плоскости $BDD_1$:
Точки: $B=(1,\sqrt{3},0)$, $D=(1,0,0)$, $D_1=(1,0,1)$.
Вектор $\vec{DB} = B-D = (1-1, \sqrt{3}-0, 0-0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.
Вектор $\vec{DD_1} = D_1-D = (1-1, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.
Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BDD_1$ равен векторному произведению $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{i} - (0\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{j} + (0\cdot 0 - \sqrt{3}\cdot 0)\mathbf{k} = (\sqrt{3}, 0, 0)$.
Для удобства можно взять $\vec{n_1}=(1,0,0)$. (Плоскость $x=1$).
Расчет нормального вектора для плоскости $AFE_1$:
Точки: $A=(0,\sqrt{3},0)$, $F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$, $E_1=(0,0,1)$.
Вектор $\vec{AF} = F-A = (-1/2-0, \sqrt{3}/2-\sqrt{3}, 0-0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор $\vec{AE_1} = E_1-A = (0-0, 0-\sqrt{3}, 1-0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AFE_1$ равен векторному произведению $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = ((-\sqrt{3}/2)\cdot 1 - 0\cdot (-\sqrt{3}))\mathbf{i} - ((-1/2)\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{j} + ((-1/2)\cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}/2)\cdot 0)\mathbf{k}$
$\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, \sqrt{3}/2)$.
Для удобства можно умножить на 2: $\vec{n_2}=(-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.
Вычисление косинуса угла между плоскостями:
Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\vec{n_1}=(1,0,0)$
$\vec{n_2}=(-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$
Скалярное произведение:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(-\sqrt{3}) + (0)(1) + (0)(\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.
Модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+1+3} = \sqrt{7}$.
Косинус угла:
$\cos \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Для рационализации знаменателя: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$