Номер 26.22, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.22. Напишите уравнения плоскостей, содержащих грани многогранника, изображенного на рисунке 26.7.

Рис. 26.7

Плоскость нижней грани

Грань DABC является основанием многогранника и расположена в координатной плоскости $xy$. Все точки этой грани имеют координату $z=0$.

Ответ: $z = 0$

Плоскость задней грани

Грань, обращенная к отрицательному направлению оси $y$, состоит из двух частей: DCC₁D₁ и D₁C₁C₂D₂. Все точки, образующие эту общую грань, имеют координату $y=0$.

Ответ: $y = 0$

Плоскость передней грани

Грань, обращенная к положительному направлению оси $y$, состоит из двух частей: ABB₁A₁ и A₁B₁B₂A₂. Все точки, образующие эту общую грань, имеют координату $y=2$.

Ответ: $y = 2$

Плоскость левой грани

Грань, обращенная к отрицательному направлению оси $x$, состоит из двух частей: DAA₁D₁ и D₁A₁A₂D₂. Все точки, образующие эту общую грань, имеют координату $x=0$.

Ответ: $x = 0$

Плоскость внешней правой грани

Грань, обращенная к положительному направлению оси $x$, это BCC₁B₁. Все точки этой грани имеют координату $x=2$.

Ответ: $x = 2$

Плоскость нижней верхней грани (горизонтальная ступенька)

Эта грань (включая часть, не перекрытую верхним блоком) представлена прямоугольником D₁A₁B₁C₁. Все точки этой грани имеют координату $z=1$.

Ответ: $z = 1$

Плоскость верхней верхней грани

Грань D₂A₂B₂C₂ является самой высокой гранью многогранника. Все точки этой грани имеют координату $z=2$.

Ответ: $z = 2$

Плоскость внутренней вертикальной грани (ступенька)

Дано:
Вершины грани: C₁(2,0,1), B₁(2,2,1), B₂(1,2,2), C₂(1,0,2).

Найти:
Уравнение плоскости, содержащей эту грань.

Решение:
Для нахождения уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, выберем три точки, не лежащие на одной прямой, например C₁(2,0,1), B₁(2,2,1), C₂(1,0,2).
Найдем два вектора, лежащих в плоскости:
$\vec{v_1} = \vec{C_1B_1} = (2-2, 2-0, 1-1) = (0, 2, 0)$
$\vec{v_2} = \vec{C_1C_2} = (1-2, 0-0, 2-1) = (-1, 0, 1)$
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \text{det}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot (-1))$
$\vec{n} = (2, 0, 2)$
Для удобства, можно использовать упрощенный нормальный вектор, разделив на 2: $\vec{n} = (1, 0, 1)$.
Уравнение плоскости имеет вид $1x + 0y + 1z + D = 0$, или $x + z + D = 0$.
Для нахождения константы $D$, подставим координаты любой точки, лежащей в плоскости, например C₁(2,0,1):
$2 + 0 \cdot 0 + 1 + D = 0$
$3 + D = 0 \implies D = -3$.
Таким образом, уравнение плоскости: $x + z - 3 = 0$.
Проверим принадлежность четвертой точки B₂(1,2,2) этой плоскости: $1 + 2 - 3 = 0$. Условие выполняется, что подтверждает корректность уравнения.

Ответ: $x + z - 3 = 0$