Номер 25.16, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.16. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{a}(1; 1; 1)$ с координатными плоскостями $Oxy, Oxz, Oyz$.

Дано

вектор $\vec{e} = (1; 1; 1)$.

координатные плоскости $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$.

Найти

косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}$ с координатными плоскостями $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$.

Решение

угол между вектором и плоскостью определяется как дополнительный до $90^\circ$ угол между вектором и нормалью к плоскости. если $\phi$ — угол между вектором $\vec{a}$ и плоскостью, а $\vec{n}$ — нормальный вектор к этой плоскости, то синус угла $\phi$ вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$

поскольку угол $\phi$ между вектором и плоскостью по определению находится в диапазоне $[0, \frac{\pi}{2}]$, то его косинус можно найти по основному тригонометрическому тождеству:

$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi}$

для начала найдем модуль вектора $\vec{e} = (1; 1; 1)$:

$|\vec{e}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

с плоскостью Oxy

нормальным вектором к плоскости $Oxy$ является вектор оси $z$, то есть $\vec{n}_{Oxy} = (0; 0; 1)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oxy}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxy} = (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oxy}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oxy}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oxy$:

$\sin \phi_{Oxy} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxy}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oxy}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oxy}$:

$\cos \phi_{Oxy} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oxy}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3 - 1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

с плоскостью Oxz

нормальным вектором к плоскости $Oxz$ является вектор оси $y$, то есть $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oxz}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxz} = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oxz}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oxz}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oxz$:

$\sin \phi_{Oxz} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxz}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oxz}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oxz}$:

$\cos \phi_{Oxz} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oxz}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

с плоскостью Oyz

нормальным вектором к плоскости $Oyz$ является вектор оси $x$, то есть $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oyz}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oyz} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oyz}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oyz}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oyz$:

$\sin \phi_{Oyz} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oyz}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oyz}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oyz}$:

$\cos \phi_{Oyz} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oyz}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$