Номер 25.13, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.13. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 4, DA = 3, DD_1 = 2$ (рис. 25.5).

Найдите длину вектора:

а) $\overline{DB}$;

б) $\overline{DA_1}$;

в) $\overline{DC_1}$;

г) $\overline{DB_1}$;

д) $\overline{AB}$;

е) $\overline{AC}$;

ж) $\overline{AB_1}$;

з) $\overline{AD_1}$;

и) $\overline{AC_1}$.

Рис. 25.5

Дано: Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Вершина $D$ - начало координат: $D=(0,0,0)$.
Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.
Длины ребер: $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как заданы безразмерные длины.

Найти: Длину векторов: а) $\vec{DB}$; б) $\vec{DA_1}$; в) $\vec{DC_1}$; г) $\vec{DB_1}$; д) $\vec{AB}$; е) $\vec{AC}$; ж) $\vec{AB_1}$; з) $\vec{AD_1}$; и) $\vec{AC_1}$.

Решение:
Определим координаты всех вершин параллелепипеда. Так как $D=(0,0,0)$ и ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно, их длины определяют координаты вершин $C$, $A$, $D_1$:
$D = (0,0,0)$
$C = (DC, 0, 0) = (4,0,0)$
$A = (0, DA, 0) = (0,3,0)$
$D_1 = (0, 0, DD_1) = (0,0,2)$

Остальные вершины можно найти, используя свойства прямоугольного параллелепипеда:
$B = (DC, DA, 0) = (4,3,0)$
$A_1 = (0, DA, DD_1) = (0,3,2)$
$B_1 = (DC, DA, DD_1) = (4,3,2)$
$C_1 = (DC, 0, DD_1) = (4,0,2)$

Для нахождения длины вектора $\vec{PQ}$ с началом $P(x_P, y_P, z_P)$ и концом $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ используем формулу: $|\vec{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$.

а) $\overline{DB}$
Вектор $\vec{DB} = B - D = (4,3,0) - (0,0,0) = (4,3,0)$.
Длина вектора $|\vec{DB}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $5$

б) $\overline{DA_1}$
Вектор $\vec{DA_1} = A_1 - D = (0,3,2) - (0,0,0) = (0,3,2)$.
Длина вектора $|\vec{DA_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

в) $\overline{DC_1}$
Вектор $\vec{DC_1} = C_1 - D = (4,0,2) - (0,0,0) = (4,0,2)$.
Длина вектора $|\vec{DC_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

г) $\overline{DB_1}$
Вектор $\vec{DB_1} = B_1 - D = (4,3,2) - (0,0,0) = (4,3,2)$.
Длина вектора $|\vec{DB_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$

д) $\overline{AB}$
Вектор $\vec{AB} = B - A = (4,3,0) - (0,3,0) = (4,0,0)$.
Длина вектора $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: $4$

е) $\overline{AC}$
Вектор $\vec{AC} = C - A = (4,0,0) - (0,3,0) = (4,-3,0)$.
Длина вектора $|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $5$

ж) $\overline{AB_1}$
Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (4,3,2) - (0,3,0) = (4,0,2)$.
Длина вектора $|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

з) $\overline{AD_1}$
Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,0,2) - (0,3,0) = (0,-3,2)$.
Длина вектора $|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

и) $\overline{AC_1}$
Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (4,0,2) - (0,3,0) = (4,-3,2)$.
Длина вектора $|\vec{AC_1}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$