Номер 35, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все рёбра призмы равны 1.

Перевод в СИ: Поскольку длины рёбер заданы в условных единицах (число 1), перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1F_1$ можно использовать метод координат или геометрические преобразования. Воспользуемся тем, что прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $BF$, лежащей в той же плоскости, что и прямая $AC$ (плоскость основания $ABCDEF$). Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BF$.

Расположим центр основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная шестиугольная и все её рёбра равны 1, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин основания $ABCDEF$ (для $a=1$):

• Вершина $A$: $(1, 0, 0)$
• Вершина $B$: $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• Вершина $C$: $(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• Вершина $F$: $(\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем векторы направлений для прямых $AC$ и $BF$:

Вектор $\vec{AC}$: $C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BF}$: $F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Обозначим $\vec{u} = \vec{AC}$ и $\vec{v} = \vec{BF}$. Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3/2) \cdot 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = 0 - 3/2 + 0 = -3/2$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{u}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла. Поскольку угол между прямыми принято считать острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), используем абсолютное значение скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = 1/2$.

Находим угол $\theta$:

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: Угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен $60^\circ$.