Номер 29, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла $AC_1B$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1, то есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 = 1$.

Найти:

Косинус угла $AC_1B$, то есть $\cos(\angle AC_1B)$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $AC_1B$. Для нахождения косинуса угла $AC_1B$ необходимо определить длины всех трех сторон этого треугольника: $AB$, $AC_1$ и $BC_1$.

1. Длина ребра $AB$ задана по условию задачи: $AB = 1$.

2. Длина отрезка $BC_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку призма является правильной, ее боковые грани - прямоугольники. Так как все ребра призмы равны 1, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол $C$ прямой, так как $CC_1 \perp BC$).По теореме Пифагора:$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$BC_1^2 = 1^2 + 1^2$$BC_1^2 = 1 + 1$$BC_1^2 = 2$$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина отрезка $AC_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Аналогично, боковая грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной 1.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (угол $C$ прямой, так как $CC_1 \perp AC$).По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$AC_1^2 = 1^2 + 1^2$$AC_1^2 = 1 + 1$$AC_1^2 = 2$$AC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, мы определили длины сторон треугольника $AC_1B$:$AB = 1$$BC_1 = \sqrt{2}$$AC_1 = \sqrt{2}$

Заметим, что треугольник $AC_1B$ является равнобедренным, поскольку $AC_1 = BC_1$.

Для нахождения косинуса угла $AC_1B$ применим теорему косинусов для треугольника $AC_1B$. Сторона, противолежащая углу $AC_1B$, это $AB$.$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Подставим найденные значения сторон:$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle AC_1B)$$1 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle AC_1B)$$1 = 4 - 4 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Выразим $\cos(\angle AC_1B)$ из этого уравнения:$4 \cdot \cos(\angle AC_1B) = 4 - 1$$4 \cdot \cos(\angle AC_1B) = 3$$\cos(\angle AC_1B) = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла $AC_1B$ равен $\frac{3}{4}$.