Номер 34, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла $ABE_1$.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

все ребра призмы равны 1.

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (безразмерная величина).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина).

Найти:

тангенс угла $ABE_1$, то есть $\tan(\angle ABE_1)$.

Решение:

рассмотрим треугольник $ABE_1$. для нахождения тангенса угла $ABE_1$ нам необходимо знать длины его сторон.
1. длина ребра $AB$ по условию равна 1, так как это ребро основания: $AB = 1$.
2. найдем длину отрезка $BE_1$. рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$.
катет $EE_1$ является высотой призмы, то есть боковым ребром, $EE_1 = 1$.
катет $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника (основания призмы) со стороной $a=1$. длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
по теореме пифагора для треугольника $BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2$
$BE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$BE_1 = \sqrt{5}$.
3. найдем длину отрезка $AE_1$. рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$.
катет $EE_1$ является высотой призмы, $EE_1 = 1$.
катет $AE$ является малой диагональю правильного шестиугольника (основания призмы) со стороной $a=1$. малая диагональ соединяет вершины, между которыми лежит одна вершина (например, $A$ и $C$). длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$. в нашем случае $AE$ соединяет вершины $A$ и $E$. если перечислить вершины по кругу $A, B, C, D, E, F, A$, то между $A$ и $E$ находятся $B, C, D$. или если идти в обратную сторону $A, F, E$. таким образом, $A$ и $E$ разделены одной вершиной ($F$) или тремя ($B, C, D$). это означает, что $AE$ является малой диагональю.
следовательно, $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
по теореме пифагора для треугольника $AEE_1$:
$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$
$AE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$AE_1 = \sqrt{4} = 2$.
таким образом, стороны треугольника $ABE_1$ равны: $AB=1$, $BE_1=\sqrt{5}$, $AE_1=2$.
4. для нахождения косинуса угла $ABE_1$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABE_1$.
$AE_1^2 = AB^2 + BE_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BE_1 \cdot \cos(\angle ABE_1)$
подставим известные значения:
$2^2 = 1^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\angle ABE_1)$
$4 = 1 + 5 - 2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1)$
$4 = 6 - 2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1)$
$2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1) = 6 - 4$
$2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1) = 2$
$\cos(\angle ABE_1) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
5. теперь найдем $\sin(\angle ABE_1)$ из основного тригонометрического тождества, учитывая, что угол в треугольнике положителен:
$\sin^2(\angle ABE_1) + \cos^2(\angle ABE_1) = 1$
$\sin^2(\angle ABE_1) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$\sin(\angle ABE_1) = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
6. наконец, найдем тангенс угла:
$\tan(\angle ABE_1) = \frac{\sin(\angle ABE_1)}{\cos(\angle ABE_1)} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$.

Ответ:

$\tan(\angle ABE_1) = 2$.