Номер 31, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $AB, BC$.

Найдите угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Дано:

правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
все ребра равны 1, то есть $SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=1$.
$E$ - середина ребра $AB$.
$F$ - середина ребра $BC$.

Перевод данных в систему СИ:

Все длины ребер даны в безразмерных единицах (равны 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется, так как искомая величина - угол.

Найти:

угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Решение:

1. Рассмотрим основание пирамиды $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, основанием является квадрат со стороной, равной 1. То есть $AB=BC=CD=DA=1$.
2. Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ соответственно. В треугольнике $ABC$, отрезок $EF$ является средней линией, так как соединяет середины двух сторон.
3. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллельна третьей стороне $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$:
$EF \parallel AC$
$EF = \frac{1}{2} AC$
4. Найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (так как $ABCD$ - квадрат), по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC = \sqrt{2}$
5. Таким образом, длина отрезка $EF$ составляет $EF = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. Угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $EF$ определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. Поскольку $EF \parallel AC$, угол между прямыми $SA$ и $EF$ равен углу между прямыми $SA$ и $AC$. Эти прямые пересекаются в точке $A$.
7. Рассмотрим треугольник $SAC$. Длины его сторон: $SA = 1$ (дано), $SC = 1$ (дано, так как все ребра пирамиды равны 1), $AC = \sqrt{2}$ (найдено ранее).
8. Проверим соотношение сторон в треугольнике $SAC$ по теореме Пифагора:
$SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).
9. Более того, поскольку $SA = SC = 1$, треугольник $SAC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.
10. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle SAC = \angle SCA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.
11. Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $AC$ равен $45^\circ$. А значит, угол между прямыми $SA$ и $EF$ также равен $45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$