Номер 36, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длины всех ребер равны $1$.

Перевод в СИ:

Данная задача не требует перевода в систему СИ, так как не содержит конкретных физических единиц измерения. Длины ребер даны в условных единицах.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

Решение:

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ воспользуемся методом координат.

Поместим начало координат $O(0,0,0)$ в центр нижнего основания $ABCDEF$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны $1$, то длина стороны основания $AB=1$, и высота призмы $AA_1=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $1$ (радиус описанной окружности равен $1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются из координат нижнего основания путем увеличения $z$-координаты на высоту призмы, которая также равна $1$:

$B_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AC$ и $B_1D_1$:

Вектор $\vec{AC}$: $C - A = \left(-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Вектор $\vec{B_1D_1}$: $D_1 - B_1 = \left(-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 1\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Обозначим эти векторы как $\vec{u}$ и $\vec{v}$ соответственно:

$\vec{u} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$\vec{v} = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (0) \cdot (0) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} + 0 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Найдем длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$:

$|\vec{u}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$|\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

$\cos \phi = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Геометрическое обоснование (для проверки):

Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$ в нижнем основании, так как $BB_1D_1D$ является прямоугольником (боковая грань $BB_1C_1C$ и $DD_1E_1E$ являются прямоугольниками, а $BD$ и $B_1D_1$ - диагонали соответствующих плоскостей, лежащих в параллельных плоскостях). Более строго, вектор $\vec{BD} = D-B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, что совпадает с проекцией $\vec{B_1D_1}$ на плоскость $z=0$. Таким образом, прямые $B_1D_1$ и $BD$ параллельны.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$ в плоскости основания.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $1$, диагонали $AC$ и $BD$ равны $\sqrt{3}$ (например, по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2+1^2-2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = 1+1+1=3$, откуда $AC=\sqrt{3}$).

Векторы, лежащие в плоскости основания: $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $\vec{BD} = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Их скалярное произведение и длины дают тот же результат, $\cos \phi = 1/2$, что соответствует углу $60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$