Номер 43, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Длина ребра основания $a=1$.

Высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ:

Данные величины являются безразмерными или заданы в условных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DF_1$, перенесем одну из прямых так, чтобы они имели общую точку, или найдем параллельную ей прямую, пересекающую вторую. Рассмотрим прямые $AC$ и $FD$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$, короткие диагонали, такие как $AC$ и $FD$, параллельны и имеют одинаковую длину. Докажем это с помощью векторов, расположив центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты необходимых вершин нижнего основания ($z=0$):

$A = (1, 0, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершины $F_1$ верхнего основания ($z=1$, так как высота призмы равна 1):

$F_1 = (1/2, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вычислим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{FD}$:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку $\vec{AC} = \vec{FD}$, прямые $AC$ и $FD$ параллельны. Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DF_1$ равен углу между прямыми $FD$ и $DF_1$. Этот угол можно найти, рассмотрев треугольник $FDF_1$.

Рассмотрим треугольник $FDF_1$. Ребро $FF_1$ является высотой призмы и перпендикулярно плоскости нижнего основания, в которой лежит прямая $FD$. Таким образом, треугольник $FDF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$ ($\angle DFF_1 = 90^\circ$).

Найдем длины сторон этого прямоугольного треугольника:

1. Длина катета $FF_1$ - это высота призмы, которая по условию равна 1: $FF_1 = 1$.

2. Длина катета $DF$ - это длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина такой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Значит, $DF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Длина гипотенузы $DF_1$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2$

$DF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$DF_1 = \sqrt{4} = 2$

Искомый угол - это угол $\angle F_1DF$ в прямоугольном треугольнике $FDF_1$. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle F_1DF) = \frac{DF}{DF_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, угол $\angle F_1DF = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:

30°