Номер 44, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

44. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Дано

пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная;

сторона основания $a = 1$;

боковое ребро $l = 2$.

Найти:

косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

1. Расположим центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ будет лежать на оси $z$. Пусть $S=(0,0,h)$, где $h$ - высота пирамиды.

2. Определим координаты вершин основания. В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра основания до любой его вершины равно $a=1$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $x$. Тогда её координаты $A=(1,0,0)$.

Координаты вершины $B$ можно найти, повернув $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $z$: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$ можно найти, повернув $A$ на $120^\circ$ вокруг оси $z$: $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Найдем высоту пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $O$ - центр основания. $OA$ - это радиус описанной окружности, $OA=a=1$. $SA$ - это боковое ребро, $SA=l=2$. $SO=h$ - это высота пирамиды.

По теореме Пифагора для $\triangle SOA$: $SO^2 + OA^2 = SA^2$. $h^2 + 1^2 = 2^2$. $h^2 + 1 = 4$. $h^2 = 3$. $h = \sqrt{3}$.

Таким образом, координаты вершины $S=(0,0,\sqrt{3})$.

4. Найдем направляющие векторы прямых $SA$ и $BC$.

Вектор $\vec{SA}$ направлен из $S$ в $A$: $\vec{SA} = A - S = (1-0, 0-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{BC}$ направлен из $B$ в $C$: $\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, 0, 0)$.

5. Вычислим косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$. Угол $\theta$ между двумя прямыми, направляющие векторы которых $\vec{u}$ и $\vec{v}$, определяется формулой: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Здесь используется абсолютное значение скалярного произведения, чтобы получить косинус острого угла между прямыми.

Вычислим скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{BC}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) = -1 + 0 + 0 = -1$.

Вычислим длины векторов (модули): $|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$. (Это длина бокового ребра, что совпадает с данными условия).

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0 + 0} = \sqrt{1} = 1$. (Это длина стороны основания, что также совпадает с данными условия).

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{|-1|}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$