Номер 2, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCD_1$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра куба за $a$. Введем систему координат с началом в точке $B$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $BC$, ось $Oy$ вдоль ребра $BA$, ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$.

Координаты вершин куба, необходимые для решения:

$B = (0,0,0)$

$C = (a,0,0)$

$A = (0,a,0)$

$D = (a,a,0)$ (поскольку $ABCD$ - квадрат, $D$ является вершиной, противоположной $B$ в основании)

$D_1 = (a,a,a)$ (поскольку $D_1$ находится над $D$)

Найдем вектор направления прямой $BD$. $\vec{BD} = D - B = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$. Для удобства вычислений можно использовать сонаправленный вектор $\vec{v} = (1,1,0)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$. Для этого возьмем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$.

$\vec{BC} = C - B = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$. $\vec{BD_1} = D_1 - B = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a)$ $\vec{n} = 0\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (0, -a^2, a^2)$. Для удобства вычислений можно использовать упрощенный нормальный вектор $\vec{n} = (0, -1, 1)$, разделив все компоненты на $-a^2$.

Угол $\theta$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется по формуле: $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(0) + (1)(-1) + (0)(1) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Вычислим длины векторов $||\vec{v}||$ и $||\vec{n}||$: $||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$. $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу для $\sin \theta$: $\sin \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:

$30^\circ$