Номер 5, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Дано
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:
Угол между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение
Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат. Угол $\phi$ между прямой, задаваемой направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, задаваемой нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$
Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:
$A = (0,0,0)$
$B = (a,0,0)$
$C = (a,a,0)$
$D = (0,a,0)$
$A_1 = (0,0,a)$
$B_1 = (a,0,a)$
$C_1 = (a,a,a)$
$D_1 = (0,a,a)$
1. Найдем направляющий вектор прямой $A_1C_1$.
Вектор $\vec{A_1C_1}$ можно найти как разность координат точки $C_1$ и точки $A_1$:
$\vec{l} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (a,a,a) - (0,0,a) = (a,a,0)$.
2. Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$.
Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{BC} = C - B = (a,a,0) - (a,0,0) = (0,a,0)$
$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0,a,a) - (a,0,0) = (-a,a,a)$
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$
$\vec{n} = (a^2, 0, a^2)$.
Для удобства расчетов можем взять упрощенный нормальный вектор, разделив на $a^2$: $\vec{n} = (1,0,1)$.
3. Вычислим скалярное произведение и длины векторов.
Скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:
$\vec{l} \cdot \vec{n} = (a)(1) + (a)(0) + (0)(1) = a$.
Длина вектора $\vec{l}$:
$||\vec{l}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Длина вектора $\vec{n}$:
$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
4. Подставим значения в формулу для синуса угла.
$\sin \phi = \frac{|a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
5. Найдем угол $\phi$.
Поскольку $\sin \phi = \frac{1}{2}$, угол $\phi$ равен $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан).

Ответ: $30^\circ$