Номер 11, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $AB_1 D_1$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $CA_1$.

Плоскость $AB_1D_1$.

Обозначим длину ребра куба за $a$. Перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит геометрический характер и не содержит числовых значений.

Угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Введем декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ вдоль ребра $AD$, и ось $z$ вдоль ребра $AA_1$.

Координаты необходимых вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющий вектор $\vec{u}$ прямой $CA_1$. Вектор можно найти как $A_1 - C$ или $C - A_1$. Возьмем $\vec{u} = \vec{A_1C} = C - A_1$:

$ \vec{u} = (a-0, a-0, 0-a) = (a, a, -a) $

Для нахождения нормального вектора $\vec{n}$ плоскости $AB_1D_1$ используем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$:

$ \vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a) $

$ \vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a) $

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$ \vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} $

$ \vec{n} = (0 \cdot a - a \cdot a)\mathbf{i} - (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{j} + (a \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{k} $

$ \vec{n} = (-a^2)\mathbf{i} - (a^2)\mathbf{j} + (a^2)\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2) $

Для удобства вычислений можно использовать вектор, коллинеарный $\vec{n}$, например, $\vec{n}' = \frac{1}{-a^2}\vec{n} = (1, 1, -1)$ (поскольку $a \neq 0$).

Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{u}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, находится по формуле:

$ \sin \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{n}||} $

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{n}$ (используя $\vec{n} = (-a^2, -a^2, a^2)$):

$ \vec{u} \cdot \vec{n} = (a)(-a^2) + (a)(-a^2) + (-a)(a^2) = -a^3 - a^3 - a^3 = -3a^3 $

Вычислим модули векторов $\vec{u}$ и $\vec{n}$:

$ ||\vec{u}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} $

$ ||\vec{n}|| = \sqrt{(-a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3} $

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$ \sin \phi = \frac{|-3a^3|}{(a\sqrt{3})(a^2\sqrt{3})} = \frac{3a^3}{3a^3} = 1 $

Поскольку $\sin \phi = 1$, то угол $\phi = 90^\circ$. Это означает, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

$90^\circ$