Номер 12, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, ребро $AB$ лежало вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.

Тогда координаты вершин куба будут: $A = (0, 0, 0)$
$B = (a, 0, 0)$
$C = (a, a, 0)$
$D = (0, a, 0)$
$A_1 = (0, 0, a)$
$B_1 = (a, 0, a)$
$C_1 = (a, a, a)$
$D_1 = (0, a, a)$

Найдем направляющий вектор прямой $BD_1$. Вектор $\vec{BD_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{v} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$.

Теперь найдем вектор нормали к плоскости $ACB_1$. Плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$ и $B_1(a, 0, a)$. Образуем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AC} = C - A = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$
$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$: $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix}$
$\vec{n} = (a \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{j} + (a \cdot 0 - a \cdot a)\mathbf{k}$
$\vec{n} = (a^2)\mathbf{i} - (a^2)\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$
$\vec{n} = (a^2, -a^2, -a^2)$.
Для удобства можно взять более простой нормальный вектор, разделив на $a^2$: $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью определяется формулой: $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (-a)(1) + (a)(-1) + (a)(-1) = -a - a - a = -3a$.

Вычислим длины векторов $|\vec{v}|$ и $|\vec{n}|$: $|\vec{v}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу для $\sin \theta$: $\sin \theta = \frac{|-3a|}{(a\sqrt{3})(\sqrt{3})} = \frac{3a}{3a} = 1$.

Так как $\sin \theta = 1$, то $\theta = 90^\circ$.

Это означает, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Ответ:

$90^\circ$