Номер 7, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Точка $A$ лежит как на прямой $AB_1$, так и в плоскости $ABC_1$. Поэтому для нахождения искомого угла необходимо найти проекцию точки $B_1$ на плоскость $ABC_1$. Пусть эта проекция будет точка $P$. Тогда искомый угол равен углу $\angle PAB_1$.

Докажем, что прямая $B_1C$ перпендикулярна плоскости $ABC_1$. Рассмотрим ребро $AB$. Поскольку $AB$ перпендикулярно $BC$ (стороны квадрата $ABCD$) и $AB$ перпендикулярно $BB_1$ (ребра куба), то $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1B_1$. Так как прямая $B_1C$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $AB \perp B_1C$. Теперь рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Это квадрат. Его диагонали $BC_1$ и $B_1C$ перпендикулярны. Следовательно, $BC_1 \perp B_1C$. Мы установили, что прямая $B_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC_1$, лежащим в плоскости $ABC_1$. Отсюда следует, что прямая $B_1C$ перпендикулярна плоскости $ABC_1$.

Тогда проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC_1$ — это точка пересечения прямой $B_1C$ с плоскостью $ABC_1$. Обозначим эту точку $P$. Для удобства вычислений введем систему координат, приняв вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$. Вектор нормали к плоскости $ABC_1$ может быть найден как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$. $\vec{AB} = (a,0,0)$ $\vec{AC_1} = (a,a,a)$ $\vec{n}_{ABC_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = (0 \cdot a - 0 \cdot a, 0 \cdot a - a \cdot a, a \cdot a - 0 \cdot a) = (0, -a^2, a^2)$. Для уравнения плоскости можно использовать более простой вектор нормали $(0,-1,1)$. Тогда уравнение плоскости $ABC_1$, проходящей через $A(0,0,0)$, будет $-1(y-0) + 1(z-0) = 0$, то есть $-y+z=0$ или $y=z$. Проверим, что $P$ — это середина отрезка $B_1C$. Координаты точки $B_1(a,0,a)$ и $C(a,a,0)$. Координаты середины отрезка $B_1C$ (обозначим её $M$) будут: $M\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+0}{2}\right) = M\left(a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Подставим координаты точки $M$ в уравнение плоскости $y=z$: $\frac{a}{2} = \frac{a}{2}$. Равенство выполняется, следовательно, середина отрезка $B_1C$ действительно лежит в плоскости $ABC_1$. Таким образом, точка $P$ совпадает с серединой отрезка $B_1C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle APB_1$, где прямой угол $\angle APB_1$ (так как $B_1P$ перпендикулярно плоскости $ABC_1$, а $AP$ лежит в этой плоскости). Длина гипотенузы $AB_1$ (диагональ грани $ABB_1A_1$) равна $a\sqrt{2}$. $AB_1 = \sqrt{AB^2+BB_1^2} = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Длина катета $B_1P$ равна половине длины диагонали $B_1C$ грани $BCC_1B_1$. $B_1C = \sqrt{BC^2+CC_1^2} = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. $B_1P = \frac{1}{2} B_1C = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Искомый угол $\phi = \angle PAB_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle APB_1$ синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \phi = \frac{B_1P}{AB_1}$ $\sin \phi = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ Следовательно, $\phi = 30^\circ$.

Ответ:

$30^\circ$