Номер 4, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $AD_1$ и плоскостью $BCD_1$.

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $A_1C$ и прямой

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $AD_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, а рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Координаты вершин куба будут:

$A = (0, 0, 0)$
$B = (a, 0, 0)$
$C = (a, a, 0)$
$D = (0, a, 0)$
$A_1 = (0, 0, a)$
$B_1 = (a, 0, a)$
$C_1 = (a, a, a)$
$D_1 = (0, a, a)$

1. Найдем вектор направления прямой $AD_1$.

Вектор $\vec{AD_1}$ имеет координаты $D_1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)$.

В качестве направляющего вектора прямой $AD_1$ возьмем $\vec{l} = (0, 1, 1)$ (разделив на $a$).

2. Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$.

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D_1(0, a, a)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0)$
$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$
$\vec{n} = (a^2, 0, a^2)$

В качестве нормального вектора плоскости $BCD_1$ возьмем $\vec{n} = (1, 0, 1)$ (разделив на $a^2$).

3. Найдем угол между прямой и плоскостью.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью связан с углом $\phi$ между направляющим вектором прямой $\vec{l}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$ соотношением $\sin \theta = |\cos \phi|$, где $\phi$ — это угол между векторами $\vec{l}$ и $\vec{n}$.

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Где $\vec{l} = (0, 1, 1)$ и $\vec{n} = (1, 0, 1)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Вычислим длины векторов:

$||\vec{l}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\phi = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью равен:

$\sin \theta = \cos \phi = 1/2$

Отсюда $\theta = \arcsin(1/2) = 30^\circ$.

Геометрический метод (альтернативное решение):

Пусть ребро куба равно $a$.

Прямая $AD_1$ — это диагональ грани $ADD_1A_1$. Её длина $AD_1 = a\sqrt{2}$.

Плоскость $BCD_1$ содержит вершины $B$, $C$, $D_1$.

Точка $D_1$ является точкой пересечения прямой $AD_1$ с плоскостью $BCD_1$.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Поскольку $D_1$ лежит в плоскости $BCD_1$, нам нужно найти проекцию точки $A$ на плоскость $BCD_1$. Пусть эта проекция будет $A'$. Тогда искомый угол — это угол $\angle AD_1A'$.

Найдем координаты проекции $A'=(x_A', y_A', z_A')$ точки $A=(0,0,0)$ на плоскость $BCD_1$. Уравнение плоскости $BCD_1$ мы нашли в координатном методе: $x+z-a=0$.

Вектор $AA'$ должен быть параллелен нормальному вектору плоскости $\vec{n}=(1,0,1)$.

Следовательно, $A' = A + k\vec{n} = (0,0,0) + k(1,0,1) = (k,0,k)$ для некоторого скаляра $k$.

Так как $A'$ лежит на плоскости $x+z-a=0$, подставим её координаты:

$k + k - a = 0 \implies 2k = a \implies k = a/2$

Таким образом, координаты проекции $A'$: $A'=(a/2, 0, a/2)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AD_1A'$, где $A'$ — это основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на плоскость $BCD_1$. Следовательно, угол при вершине $A'$ равен $90^\circ$.

Длина отрезка $AA'$ (расстояние от точки $A$ до плоскости $BCD_1$):

$AA' = \sqrt{(a/2-0)^2 + (0-0)^2 + (a/2-0)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{2a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Длина отрезка $AD_1$ (диагональ грани):

$AD_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

В прямоугольном треугольнике $AD_1A'$:

$\sin(\angle AD_1A') = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AA'}{AD_1}$
$\sin(\angle AD_1A') = \frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\sin(\angle AD_1A') = 1/2$, то $\angle AD_1A' = 30^\circ$.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ:

$30^\circ$