Номер 48, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Найдите угол между скрещивающимися ребрами октаэдра.

Дано:

Регулярный октаэдр.

Найти:

Угол между скрещивающимися ребрами октаэдра.

Решение:

Регулярный октаэдр является одним из пяти правильных многогранников. Он имеет 8 граней (равносторонние треугольники), 12 ребер и 6 вершин.Для определения угла между скрещивающимися ребрами октаэдра, расположим его вершины в декартовой системе координат. Пусть вершины октаэдра находятся на осях координат на расстоянии $a$ от начала координат. Без потери общности, примем $a=1$.

Таким образом, вершины октаэдра: $(1, 0, 0)$, $(-1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, -1, 0)$, $(0, 0, 1)$, $(0, 0, -1)$.

Длина любого ребра такого октаэдра равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Например, ребро, соединяющее $(1, 0, 0)$ и $(0, 1, 0)$, имеет длину $\sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Выберем два скрещивающихся ребра. В качестве первого ребра возьмем ребро, соединяющее вершину $(0, 0, 1)$ с вершиной $(1, 0, 0)$. Вектор этого ребра (назовем его $\vec{v_1}$) будет $(1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$.

В качестве второго ребра выберем ребро, соединяющее вершину $(0, 0, -1)$ с вершиной $(0, 1, 0)$. Вектор этого ребра (назовем его $\vec{v_2}$) будет $(0-0, 1-0, 0-(-1)) = (0, 1, 1)$.

Проверим, являются ли эти ребра скрещивающимися: векторы $\vec{v_1} = (1, 0, -1)$ и $\vec{v_2} = (0, 1, 1)$ не являются коллинеарными (то есть ребра не параллельны), так как их координаты не пропорциональны. Ребро, соответствующее $\vec{v_1}$, лежит в плоскости $y=0$ (так как все его точки имеют $y=0$). Ребро, соответствующее $\vec{v_2}$, не лежит в плоскости $y=0$ (например, точка $(0,1,0)$ имеет $y=1$). Таким образом, ребра не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, а значит, они скрещиваются.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(0) + (0)(1) + (-1)(1) = 0 + 0 - 1 = -1$.

Вычислим длины векторов:$|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$.

Из этого следует, что $\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.

Однако, угол между двумя скрещивающимися прямыми (ребрами) по определению является острым углом, образованным этими прямыми. Если угол между направляющими векторами составляет $120^\circ$, то острый угол будет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Для любой пары скрещивающихся ребер октаэдра угол будет таким же.

Ответ:

$60^\circ$