Номер 47, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите угол между прямыми $SA$ и $CE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Длины сторон и ребер даны в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $SA$ и $CE$.

Решение

Для определения угла между прямыми $SA$ и $CE$ воспользуемся методом координат.

1. Расположим центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$.

2. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $z$. Высоту пирамиды $h = SO$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$, где $OA$ — радиус описанной окружности основания. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $OA = a = 1$.

Применяем теорему Пифагора к $\triangle SOA$:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $S(0,0,\sqrt{3})$.

3. Разместим вершины основания в плоскости $xy$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной полуоси $x$.

Координаты вершины $A$: $A(1,0,0)$.

4. Найдем координаты вершин $C$ и $E$. Углы между радиус-векторами соседних вершин правильного шестиугольника составляют $60^\circ$. От оси $x$:

Для вершины $C$ (угол $120^\circ$ от $A$ по часовой стрелке, или $A$ находится на $0^\circ$, $B$ на $60^\circ$, $C$ на $120^\circ$):

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Для вершины $E$ (угол $240^\circ$ от $A$):

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

5. Определим векторы $\vec{SA}$ и $\vec{CE}$:

Вектор $\vec{SA} = A - S = (1-0, 0-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{CE} = E - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0-0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

6. Найдем угол $\theta$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{CE}$ с помощью формулы скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{CE}}{|\vec{SA}| |\vec{CE}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{SA} \cdot \vec{CE} = (1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{CE}$ равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $CE$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $SA$ и $CE$ составляет $90^\circ$.