Номер 10, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребро куба обозначим через $a$. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $BC_1$. Он определяется как вектор, идущий из точки $B$ в точку $C_1$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a-a, a-0, a-0) = (0,a,a)$

Для удобства можем использовать более простой направляющий вектор $\vec{u} = (0,1,1)$, так как он сонаправлен с $\vec{BC_1}$.

Теперь найдем нормальный вектор плоскости $BDD_1$. Плоскость $BDD_1$ проходит через точки $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$.

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{BD} = D - B = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен обоим этим векторам. Его можно найти с помощью векторного произведения:

$\vec{n} = \vec{BD} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(-a \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(-a \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(a^2) - \mathbf{j}(-a^2) + \mathbf{k}(-a^2 + a^2)$

$\vec{n} = (a^2, a^2, 0)$

Для удобства можем использовать более простой нормальный вектор $\vec{n} = (1,1,0)$, так как он сонаправлен с $(a^2, a^2, 0)$.

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{u}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{n}$:

$\vec{u} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1$

Вычислим длины векторов $||\vec{u}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{u}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Зная, что $\sin \phi = \frac{1}{2}$, находим угол $\phi$:

$\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$

Таким образом, угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BDD_1$ составляет $30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BDD_1$ равен $30^\circ$.