Номер 38, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ACD_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длины всех ребер равны $1$.

Перевод в систему СИ:

Не требуется, так как заданы безразмерные длины, и искомая величина - угол.

Найти:

Угол $ACD_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Для нахождения угла $ACD_1$ воспользуемся теоремой косинусов, предварительно вычислив длины сторон этого треугольника.

1. Длина стороны $CD_1$:

Ребро $CD$ является стороной правильного шестиугольника и равно $1$. Ребро $DD_1$ является боковым ребром призмы и равно $1$. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, треугольник $CDD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

По теореме Пифагора:

$CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2}$

$CD_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

2. Длина стороны $AC$:

Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. Длина стороны $AD_1$:

Сторона $AD_1$ является диагональю в пространстве. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Ребро $DD_1$ равно $1$. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина большой диагонали (проходящей через центр) равна $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AD = 2 \cdot 1 = 2$

Треугольник $ADD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора:

$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2}$

$AD_1 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

4. Нахождение угла $ACD_1$:

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $ACD_1$ ($AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$, $AD_1 = \sqrt{5}$), мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла $ACD_1$. Пусть $\angle ACD_1 = \alpha$.

По теореме косинусов:

$AD_1^2 = AC^2 + CD_1^2 - 2 \cdot AC \cdot CD_1 \cdot \cos(\angle ACD_1)$

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$

$5 = 3 + 2 - 2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

$5 = 5 - 2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

$0 = -2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

Отсюда следует, что $\cos(\alpha) = 0$.

Значение угла, косинус которого равен $0$, составляет $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Таким образом, $\angle ACD_1 = 90^\circ$.

Можно также заметить, что $AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$. И $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Ответ: $90^\circ$