Номер 33, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ABD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$. (Единицы не указаны, поэтому величина безразмерна; специального перевода в систему СИ не требуется).

Найти:

Угол $ABD_1$.

Решение:

Для определения угла $ABD_1$ рассмотрим треугольник $ABD_1$. Найдем длины его сторон $AB$, $BD_1$ и $AD_1$.

1. Длина стороны $AB$:
$AB$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, длина всех ребер призмы равна 1.
Следовательно, $AB = 1$.

2. Длина стороны $BD_1$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Угол $D$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.
Длина бокового ребра $DD_1$ равна 1 по условию.
Длина отрезка $BD$ — это длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали $d_1$ правильного шестиугольника вычисляется по формуле $d_1 = a\sqrt{3}$.
Поскольку $a = 1$, то $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BDD_1$:
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$
$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$
$BD_1^2 = 3 + 1$
$BD_1^2 = 4$
$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Длина стороны $AD_1$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Угол $D$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.
Длина бокового ребра $DD_1$ равна 1 по условию.
Длина отрезка $AD$ — это длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина большой диагонали $d_2$ правильного шестиугольника равна $2a$.
Поскольку $a = 1$, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADD_1$:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$
$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$
$AD_1^2 = 4 + 1$
$AD_1^2 = 5$
$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, длины сторон треугольника $ABD_1$ составляют:
$AB = 1$
$BD_1 = 2$
$AD_1 = \sqrt{5}$

Для нахождения угла $ABD_1$ (обозначим его $\alpha$) применим теорему косинусов к треугольнику $ABD_1$:
$AD_1^2 = AB^2 + BD_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BD_1 \cdot \cos(\angle ABD_1)$
$(\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha)$
$5 = 1 + 4 - 4 \cdot \cos(\alpha)$
$5 = 5 - 4 \cdot \cos(\alpha)$
$0 = -4 \cdot \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = \frac{0}{-4}$
$\cos(\alpha) = 0$

Поскольку косинус угла $\alpha$ равен 0, это означает, что угол $\alpha$ является прямым.
Следовательно, $\angle ABD_1 = 90^\circ$.

Это также подтверждается тем, что $AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$, и $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Ответ: $90^\circ$.