Номер 26, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Дано (перевод в СИ):

Длина ребра призмы $a = 1$ (условная единица, так как задача не требует конкретных физических единиц).

Найти:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

Решение:

Для определения угла между прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0, 0)$.

Поскольку основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $1$, и все ребра призмы равны $1$, мы можем задать координаты вершин следующим образом:

Вершина $A$: $A(0, 0, 0)$.

Вершина $B$ лежит на оси $Ox$: $B(1, 0, 0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Так как призма правильная и высота ее равна $1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ получаются сдвигом по оси $Oz$ на $1$:

Вершина $A_1$: $A_1(0, 0, 1)$.

Вершина $C_1$: $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$. Ее координаты найдем как среднее арифметическое координат $B$ и $C$:

$D\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = D\left(\frac{1 + 1/2}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}/2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = D\left(\frac{3/2}{2}, \frac{\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = D\left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $A_1C_1$ и $AD$. Эти векторы будут направляющими для соответствующих прямых:

Вектор $\vec{A_1C_1}$: $\vec{u} = \vec{C_1} - \vec{A_1} = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Вектор $\vec{AD}$: $\vec{v} = \vec{D} - \vec{A} = \left(\frac{3}{4} - 0, \frac{\sqrt{3}}{4} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + (0) \cdot (0) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{u}| = |\vec{A_1C_1}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$. (Это логично, так как $A_1C_1$ — ребро основания, длина которого равна $1$).

$|\vec{v}| = |\vec{AD}| = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{3/4}{1 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{3/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение косинуса, равное $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует углу в $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Таким образом, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Можно также заметить, что прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Следовательно, угол между $A_1C_1$ и $AD$ равен углу между $AC$ и $AD$, то есть углу $\angle CAD$. В равностороннем треугольнике $ABC$, $AD$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой угла, из которого она проведена. Угол $\angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, $AD$ делит $\angle BAC$ пополам, и $\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Это подтверждает результат, полученный векторным методом.

Ответ:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$ равен $30^\circ$.