Номер 19, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение:

В правильном тетраэдре все четыре грани являются равносторонними треугольниками, а все ребра имеют одинаковую длину. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

Рассмотрим ребра $AB$ и $CD$. Эти ребра являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми, мы можем перенести одну из прямых так, чтобы она пересекала другую, или найти плоскость, перпендикулярную обеим прямым, или использовать векторный метод. В данном случае, наиболее наглядным является геометрическое доказательство, основанное на свойствах равностороннего треугольника.

1. Пусть $M$ - середина ребра $CD$.

2. Рассмотрим грань $ACD$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Поскольку $M$ - середина $CD$, отрезок $AM$ является медианой, а в равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой. Следовательно, $AM \perp CD$.

3. Рассмотрим грань $BCD$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Аналогично, отрезок $BM$ является медианой к стороне $CD$, а значит, и высотой. Следовательно, $BM \perp CD$.

4. Мы получили, что прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, которые лежат в плоскости, проходящей через точки $A$, $M$, $B$ (плоскость $AMB$).

5. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Таким образом, $CD \perp \text{плоскости } AMB$.

6. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $AMB$, и прямая $CD$ перпендикулярна этой плоскости, то прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$.

Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$