Номер 17, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BD$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут:

$D=(0,0,0)$

$A=(a,0,0)$

$B=(a,a,0)$

$C=(0,a,0)$

$D_1=(0,0,a)$

$A_1=(a,0,a)$

$B_1=(a,a,a)$

$C_1=(0,a,a)$

Найдем направляющие векторы для прямых $A_1C_1$ и $DB_1$.

Для прямой $A_1C_1$ в качестве направляющего вектора возьмем вектор $\vec{u} = \vec{A_1C_1}$.

$\vec{u} = C_1 - A_1 = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Для прямой $DB_1$ в качестве направляющего вектора возьмем вектор $\vec{v} = \vec{DB_1}$.

$\vec{v} = B_1 - D = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми (или их направляющими векторами) можно найти с помощью формулы косинуса угла через скалярное произведение векторов:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (a)(a) + (0)(a) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{DB_1}$ равно нулю, это означает, что данные векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $A_1C_1$ и $DB_1$ взаимно перпендикулярны.

Геометрическое подтверждение: Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Проекция прямой $DB_1$ на плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ есть прямая $D_1B_1$. Прямые $A_1C_1$ и $D_1B_1$ являются диагоналями квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $A_1C_1 \perp D_1B_1$. По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. В данном случае, $A_1C_1$ перпендикулярна проекции $D_1B_1$, значит, $A_1C_1$ перпендикулярна $DB_1$. Таким образом, угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.