Номер 20, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Перевод в систему СИ: Данная задача является геометрической, не требующей перевода физических величин в систему СИ, так как искомая величина - угол.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми AC и BD в правильном тетраэдре, можно воспользоваться несколькими подходами.

Геометрический подход:

Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра имеют одинаковую длину. Ключевое свойство правильного тетраэдра состоит в том, что любые две скрещивающиеся (противоположные) ребра перпендикулярны друг другу.

Докажем это свойство. Пусть AC и BD — две противоположные (скрещивающиеся) ребра тетраэдра. Рассмотрим середину M ребра BC.

В равностороннем треугольнике ABC, AM является медианой и высотой, следовательно, $AM \perp BC$.

В равностороннем треугольнике DBC, DM является медианой и высотой, следовательно, $DM \perp BC$.

Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и DM, лежащим в плоскости AMD, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости AMD ($BC \perp \text{плоскости } AMD$).

Так как ребро AD лежит в плоскости AMD, то $BC \perp AD$. Это подтверждает, что противоположные ребра перпендикулярны.

Аналогично, можно показать, что $AC \perp BD$ и $AB \perp CD$.

Так как прямые AC и BD являются противоположными ребрами правильного тетраэдра, то угол между ними равен $90^\circ$.

Векторный подход:

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Разместим тетраэдр в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Пусть вершина $B$ лежит на оси X: $B=(a,0,0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости XY. Координаты $C$ для равностороннего треугольника ABC: $C=(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $D$ находится над центром треугольника ABC. Центр $O$ треугольника ABC имеет координаты:

$O_x = (0+a+a/2)/3 = a/2$

$O_y = (0+0+a\sqrt{3}/2)/3 = a\sqrt{3}/6$

Высота $h$ правильного тетраэдра с ребром $a$ равна $h = a\sqrt{2/3}$.

Следовательно, координаты вершины $D$: $D=(a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3})$.

Найдем векторы, соответствующие прямым AC и BD:

Вектор $\vec{AC} = C - A = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BD} = D - B = (a/2 - a, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3}) = (-a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3})$.

Длины этих векторов (что соответствует длинам ребер) равны $a$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (a\sqrt{3}/6)^2 + (a\sqrt{2/3})^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/36 + 2a^2/3} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12 + 2a^2/3} = \sqrt{\frac{3a^2+a^2+8a^2}{12}} = \sqrt{\frac{12a^2}{12}} = a$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a/2)(-a/2) + (a\sqrt{3}/2)(a\sqrt{3}/6) + (0)(a\sqrt{2/3})$

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2/4 + 3a^2/12 + 0$

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2/4 + a^2/4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними равен $90^\circ$. Формула для угла $\theta$ между векторами: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то $\cos \theta = 0$, что означает $\theta = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).