Номер 22, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BD$ и $CD$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $EF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $BD$.

Точка $F$ — середина ребра $CD$.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $EF$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BD$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

2. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллелен стороне $BC$ и $EF = \frac{1}{2}BC$.

3. Поскольку прямая $EF$ параллельна прямой $BC$, угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен углу между прямыми $AD$ и $BC$.

4. В правильном тетраэдре любые две скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. Ребра $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра $ABCD$. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

5. Доказательство перпендикулярности $AD$ и $BC$ с использованием векторов:

Пусть сторона правильного тетраэдра равна $a$. Расположим вершину $D$ в начале координат. Векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$ обозначим как $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ соответственно.

Поскольку тетраэдр правильный, длины всех этих векторов равны $a$: $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=a$.

Углы между любыми двумя из этих векторов (например, $\angle ADB$, $\angle ADC$, $\angle BDC$) равны $60^\circ$.

Следовательно, скалярное произведение любых двух из этих векторов равно: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Аналогично, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \frac{a^2}{2}$ и $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \frac{a^2}{2}$.

Найдем угол между прямыми $AD$ и $BC$. Для этого рассмотрим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.

Вектор $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\mathbf{a}$.

Вектор $\vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB} = \mathbf{c} - \mathbf{b}$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = (-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{b})$

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = -\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Подставим значения скалярных произведений:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = -\left(\frac{a^2}{2}\right) + \left(\frac{a^2}{2}\right) = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

6. Поскольку угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен углу между прямыми $AD$ и $BC$, то искомый угол равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен $90^\circ$.