Номер 18, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ воспользуемся методом параллельного переноса.

Рассмотрим прямую $A_1C_1$. Она является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $AC$ является диагональю нижней грани $ABCD$.

Поскольку грани куба параллельны и равны, а соответствующие вершины соединены перпендикулярными к граням ребрами, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.

Следовательно, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD_1$.

Теперь рассмотрим прямую $AC$ и прямую $BD_1$.

1. Рассмотрим плоскость основания куба $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$.

2. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $DD_1 \perp AC$.

3. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, которые лежат в плоскости $BDD_1B_1$. (Плоскость $BDD_1B_1$ содержит ребро $DD_1$ и диагональ $BD$).

4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$.

5. Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$.

6. Поскольку $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$, и $BD_1$ лежит в этой плоскости, то $AC \perp BD_1$.

7. Так как $A_1C_1 \parallel AC$ и $AC \perp BD_1$, то и $A_1C_1 \perp BD_1$.

Таким образом, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.

Альтернативно, с помощью векторного метода:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты вершин:

$A(0,0,0)$

$B(a,0,0)$

$C(a,a,0)$

$D(0,a,0)$

$A_1(0,0,a)$

$B_1(a,0,a)$

$C_1(a,a,a)$

$D_1(0,a,a)$

Вектор $\vec{A_1C_1}$:$A_1 = (0,0,a)$, $C_1 = (a,a,a)$.$\vec{A_1C_1} = (a-0, a-0, a-a) = (a,a,0)$.

Вектор $\vec{BD_1}$:$B = (a,0,0)$, $D_1 = (0,a,a)$.$\vec{BD_1} = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$.

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула:$cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Скалярное произведение $\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1}$:$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (a)(a) + (0)(a) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно $0$, это означает, что векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{BD_1}$ (и, следовательно, прямые $A_1C_1$ и $BD_1$) перпендикулярны друг другу.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $90^\circ$