Номер 13, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $BD$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а его ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Координаты вершин, необходимых для построения векторов:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

Найдем направляющий вектор для прямой $BA_1$. Возьмем вектор $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

Пусть $\vec{u} = (-a, 0, a)$.

Найдем направляющий вектор для прямой $AC_1$. Возьмем вектор $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$

Пусть $\vec{v} = (a, a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми (а значит, между их направляющими векторами) можно найти, используя формулу скалярного произведения векторов:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Используем модуль в числителе, так как угол между прямыми по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, прямые $BA_1$ и $AC_1$ перпендикулярны.

Длины векторов:

$|\vec{u}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим значения в формулу для $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{0}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{3})} = 0$

Из $\cos\theta = 0$ следует, что $\theta = 90^\circ$.

$\theta = 90^\circ$.