Номер 23, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $BC, BD, AD$. Найдите угол $EFG$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точки $E, F, G$ - середины рёбер $BC, BD, AD$ соответственно.

Найти:

Угол $EFG$.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$ равна $a$. Все рёбра тетраэдра имеют длину $a$. Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $BD$ соответственно. По свойству средней линии треугольника, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

Следовательно, $EF = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD$ - ребро правильного тетраэдра, $CD = a$.

Таким образом, $EF = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. Точки $F$ и $G$ являются серединами сторон $BD$ и $AD$ соответственно. По свойству средней линии треугольника, отрезок $FG$ является средней линией треугольника $ABD$.

Следовательно, $FG = \frac{1}{2} AB$. Так как $AB$ - ребро правильного тетраэдра, $AB = a$.

Таким образом, $FG = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим отрезок $EG$. Для его нахождения введём вспомогательную точку $K$ - середину ребра $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $E$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $EK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Таким образом, $EK = \frac{1}{2} AB$. Так как $AB = a$, то $EK = \frac{a}{2}$. Также $EK \parallel AB$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Точки $K$ и $G$ являются серединами сторон $AC$ и $AD$ соответственно. Следовательно, $KG$ является средней линией треугольника $ACD$.

Таким образом, $KG = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD = a$, то $KG = \frac{a}{2}$. Также $KG \parallel CD$.

Известно, что противоположные рёбра в правильном тетраэдре перпендикулярны. В данном случае, рёбра $AB$ и $CD$ являются противоположными, поэтому $AB \perp CD$.

Поскольку $EK \parallel AB$ и $KG \parallel CD$, то и $EK \perp KG$.

Таким образом, треугольник $EKG$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $K$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $EKG$ для нахождения $EG$:

$EG^2 = EK^2 + KG^2$

$EG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$EG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

$EG^2 = \frac{2a^2}{4}$

$EG^2 = \frac{a^2}{2}$

$EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $EFG$:

$EF = \frac{a}{2}$

$FG = \frac{a}{2}$

$EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Проверим соотношение между квадратами сторон:

$EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$

$FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$

$EG^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Заметим, что $EF^2 + FG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, $EF^2 + FG^2 = EG^2$.

По обратной теореме Пифагора, треугольник $EFG$ является прямоугольным, а прямой угол находится напротив наибольшей стороны $EG$, то есть при вершине $F$.

Следовательно, угол $EFG = 90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$